Question

Um brinquedo em um parque de diversões consiste em um cilindro vertical muito grande que gira sobre seu eixo com velocidade suficiente para que qualquer pessoa dentro do cilindro seja mantido contra a parede, quando o chão desaparece. O coeficiente de atrito estático entre a pessoa é é parede é Ue, o raio do cilindro é R:
A) Mostre que o período máximo de voltas necessárias para evitar que a pessoa caia é T=4r2RUe/g)1/2.

Answer 1

Utilizando formulações de movimento circular, temos o periodo de um giro deste cilindro $T=(\frac{4\pi^2.R.U}{g})^{\frac{1}{2}}$.

Explicação:

Sabemos que uma pessoa de massa M tem uma força puxando elas para baixo que é o peso, que se calcula com:

$F_p=M.g$

Ou seja, para esta pessoa não cair a força de atrito deve ser igual esta força peso, para segurar a pessoa.

A força peso por sua vez é calculada por:

$F_{at}=N.U$

Onde N é a força normal da superficie e U é o coeficiente de atrito.

A força normal é a força que a pessoa faz sobre a superficie, ou seja, a massa vezes a aceleração dela sobre a superficie:

$F_{at}=N.U$

$F_{at}=M.a.U$

Igualando as duas forças, temos que:

$F_{at}=M.a.U=M.g$

$a=\frac{g}{U}$

Assim sabemos a aceleração da pessoa sobre a parede.

Mas sabemos que a aceleração radial de algo que gira é a aceleração centripeta, que tem formula:

$a=\frac{V^2}{R}$

Onde V é a velocidade tangencial de giro e R é o raio da trajetória.

Substituindo a aceleração que conhecemos:

$\frac{g}{U}=\frac{V^2}{R}$

$V^2=\frac{gR}{U}$

$V=(\frac{gR}{U})^{\frac{1}{2}}$

E sabemos agora a velocidade que a pessoa gira.

Sabemos que velocidade é espaço sobre tempo, e o espaço que ela percorre em um giro é o comprimento de um circunferência de 2πR, então:

$V=\frac{2\pi.R}{T}$

$T=\frac{2\pi.R}{V}$

Substituindo V pela velocidade que conhecemos:

$T=\frac{2\pi.R}{(\frac{gR}{U})^{\frac{1}{2}}}$

$T=2\pi.R.(\frac{U}{gR})^{\frac{1}{2}}$

Passando 2πR para dentro da raiz:

$T=2\pi.R.(\frac{U}{gR})^{\frac{1}{2}}$

$T=((2\pi.R)^2.\frac{U}{gR})^{\frac{1}{2}}$

$T=(4\pi^2.R^2.\frac{U}{gR})^{\frac{1}{2}}$

$T=(\frac{4\pi^2.RU}{g})^{\frac{1}{2}}$

E assim temos o periodo de um giro deste cilindro $T=(\frac{4\pi^2.R.U}{g})^{\frac{1}{2}}$.