Question

Ajuda com polinômios

Dividindo-se o polinômio -x^3 - 4x^2 + 3 por um polinômio p, obtém-se -X-6 como quociente e -12x + 3 como resto. Determine o polinômio p.

Answer 1

Resposta:

P (x) = x² - 2 x  

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Dividindo-se o polinômio - x³- 4 x² + 3 por um polinômio P(x), obtém-se

(- x - 6 ) ,como quociente ,  e   (- 12 x + 3 ) como resto.

Determine o polinômio P(x).

Resolução:

Numa divisão temos sempre que :

dividendo = divisor * quociente + resto    ( 1 )

Aqui procura-se saber qual o divisor, a que se chamou P(x).

Fazendo como  em ( 1 )

- x³ - 4 x² + 3 = P (x) * ( - x - 6 ) + ( - 12 x + 3)

Passemos - 12 x + 3 para o 1º membro, trocando os sinais

- x³ - 4 x² + 3 + 12 x - 3 = P (x) * ( - x - 6 )

Ao reduzir os termos semelhantes no 1º membro , o 3 cancela-se com -3

-x³ - 4 x² + 12 x  = P(x) * ( - x - 6 )

Trocar os membros

⇔

P(x) * ( - x - 6 ) = - x³ - 4 x² + 12 x  

Aplicar propriedade comutativa da multiplicação no 1º membro

⇔

(- x - 6 ) * P(x) = - x³ - 4 x² + 12 x  

Nota 1 : O passo seguinte é fácil de perceber se nos lembrarmos como

se resolve uma  equação do 1º grau, na parte final da resolução.

Exemplo:  

Se tivesse que resolver a parte final da equação  

7 x = 3

o passo seguinte seria dividir ambos os membros por 7  ;

ou seja dividir tudo pelo coeficiente ( neste caso “7”) de x

(7x) / 7 = 3 / 7      ⇔ x = 3 / 7

Neste caso temos que a incógnita, o que não se sabe, é P(x) e o seu

coeficiente é (- x - 6 ) .

Façamos de maneira idêntica:

[(- x - 6 ) * P(x) ] / (- x - 6 )  =  ( - x³ - 4 x² + 12 x ) / ( - x - 6 )

Nota 2 : esta divisão só é possível quando - x - 6 ≠ 0

pois não se pode dividir algo por zero. Fica impossível.

Tem que se indicar esta restrição, senão fica incompleta a resolução.

⇔

P(x) = ( - x³ - 4 x² + 12 x ) / ( - x – 6 )      ∧  - x - 6 ≠ 0

Fazemos agora a conta de dividir que está no 2º membro  da equação.

- x³      - 4 x²       + 12 x        | - x – 6  

+ x³     + 6 x²                         x² - 2 x     ←    P(x)

    0        2 x²      + 12 x  

            - 2 x²       - 12 x

                   0     +    0

Sabíamos :

o dividendo = - x³ - 4 x² + 3

o quociente =  - x - 6

o resto  = - 12 x + 3

Faltava o divisor.

Está pois encontrado o polinómio P(x) = x² - 2 x que é o divisor.  

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir    ( ⇔ ) equivalente a      ( ∧ )   e

( ≠ )  diferente de

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.