Question

Se Alfa é igual arco seno de 3 sobre 4 então a tangente de Alfa será:

Pfv me ajudem.​

Answer 1

Temos

$\mathsf{\alpha=arcsen\!\left(\dfrac{3}{4}\right)}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad sen\,\alpha=\dfrac{3}{4}}$

com $\mathsf{-\,\dfrac{\pi}{2}\le \alpha\le \dfrac{\pi}{2},}$  pois apenas neste intervalo o arco-seno possui imagem.

Como sen α é positivo, devemos ter $\mathsf{0\le \alpha\le \dfrac{\pi}{2},}$  ou seja, α é um arco do 1º quadrante.

Sabemos que

    $\mathsf{tg\,\alpha=\dfrac{sen\,\alpha}{cos\,\alpha}}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\left(\dfrac{sen\,\alpha}{cos\,\alpha}\right)^{\! 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}}$

Mas cos² α = 1 − sen² α:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{sen^2\,\alpha}{1-sen^2\,\alpha}}$

Substitua o valor de sen α = 3/4:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{(\frac{3}{4})^2}{1-(\frac{3}{4})^2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}}$

Multiplique o numerador e o denominador por 16 para simplificar o lado direito:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{\frac{9}{16}\cdot 16}{(1-\frac{9}{16})\cdot 16}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{9}{16-9}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,\alpha=\dfrac{9}{7}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,\alpha=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{7}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,\alpha=\pm\,\dfrac{3}{\sqrt{7}}}$

Como α é um arco do 1º quadrante, então a tangente é positiva:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg\,\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{7}}\quad \longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)