Question

CALCULO DE INTEGRAL DUPLA (X+Y)dA ONDE R é a região delimitada por y=x² e y=2x

Answer 1

Calcular a integral dupla

    $\mathsf{\displaystyle\iint_R\,(x+y)\,dA}$

sendo R a região delimitada pelos gráficos das funções y = x² e y = 2x.

Primeiramente, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Igualando os y, temos

    $\mathsf{x^2=2x}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2-2x=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x\cdot (x-2)=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=0\quad ou\quad x-2=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=0\quad ou\quad x=2}$

Para x = 0, temos y = 0² = 0.

Para x = 2, temos y = 2² = 4.

Portanto, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 4).

Vamos escolher fixar primeiro os limites em x.

Para 0 ≤ x ≤ 2, temos x² ≤ 2x. Então, podemos descrever a região R da seguinte forma:

     $\mathsf{R=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~0\le x\le 2~~e~~x^2\le y\le 2x\}}$

Escrevendo as integrais iteradas, temos então

    $\mathsf{\displaystyle\iint_R\,(x+y)\,dA}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(x+y)\,dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int_0^2\left.\left(xy+\frac{y^2}{2}\right)\right|_{y=x^2}^{y=2x}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int_0^2\left[\left(x\cdot (2x)+\frac{(2x)^2}{2}\right)-\left(x\cdot (x^2)+\frac{(x^2)^2}{2}\right)\right]dx}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int_0^2\left[\left(2x^2+\frac{4x^2}{2}\right)-\left(x^3+\frac{x^4}{2}\right)\right]dx}$

    $\mathsf{=\left[\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^5}{10}\right]_{x=0}^{x=2}}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{4\cdot 2^3}{3}-\dfrac{2^4}{4}-\dfrac{2^5}{10}\right]-\left[\dfrac{4\cdot 0^3}{3}-\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^5}{10}\right]}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{4\cdot 8}{3}-\dfrac{16}{4}-\dfrac{32}{10}\right]-0}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{32}{3}-\dfrac{16}{4}-\dfrac{32}{10}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{640}{60}-\dfrac{240}{60}-\dfrac{192}{60}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{640-240-192}{60}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{208}{60}\begin{array}{l}^{\mathsf{\div\,4}}\\_{\mathsf{\div\,4}}\end{array}}$

    $\mathsf{=\dfrac{52}{15}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

limitada é o mesmo desenvolvimento?

Explicação passo-a-passo: