Question

Determine o valor real de α, para que f(x) = g²(x), com f(x)= $x^{4}+2ax^{3}+8x^{2}+4ax+4$ e g(x) = $x^{2}+2x+2$

Answer 1

Dada a função $g(x) = x^2 + 2x + 2$, podemos começar por calcular o seu quadrado:

$g^2(x) = (x^2 + 2x + 2)^2 = (x^2 + 2x + 2)\times(x^2 + 2x + 2) =\\\\= x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x^3 + 4x^2 + 4x + 2x^2 + 4x + 4 =\\\\=x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 8x + 4.$

Comparando agora a expressão acima termo a termo com a função $f(x) = x^4 + 2\alpha x^3 + 8x^2 + 4\alpha x + 4$, concluímos que:

$\begin{cases} 2\alpha = 4 \\ 4\alpha = 8\end{cases} \iff \alpha = 2.$

Resposta: $\boxed{\alpha = 2}.$