Question

(FESP) O quinto termo do desenvolvimento de $X - \frac{1}{\sqrt{X} }^8$ onde X > 0 é:

AJUDA AE "GARELA"

Answer 1

Resposta:

O quinto termo do desenvolvimento é igual a 70x².

Explicação passo-a-passo:

O termo geral de uma expansão binomial do tipo $(a+b)^n$ é dado por:

$\displaystyle T_{k+1} ={n \choose k}a^{n-k}b^k$

Acima, $T_{n+1}$ representa o (k+1)-ésimo termo do desenvolvimento. Para o caso dado, por comparação, tem-se $a=x$, $b=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=-\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=-x^{-\frac{1}{2}$ e $n=8$. Assim, o termo geral é:

$\displaystyle T_{k+1} ={8 \choose k}(x)^{8-k}\cdot (-x^{-\frac{1}{2}})^k\\\\T_{k+1} ={8 \choose k}(x)^{8-k}\cdot (-1)^k\cdot(x^{-\frac{1}{2}})^k\\\\T_{k+1} ={8 \choose k}x^{8-k}\cdot (-1)^k\cdot x^{-\frac{k}{2}}\\\\T_{k+1} ={8 \choose k}(-1)^k\cdot x^{8-k-\frac{k}{2}}\\\\T_{k+1} ={8 \choose k}(-1)^k\cdot x^{8-\frac{3k}{2}}$

Agora, como queremos saber o quinto termo, basta tomarmos $k+1=5\Longrightarrow k = 4$:

$\displaystyle T_{4+1} ={8 \choose 4}(-1)^4\cdot x^{8-\frac{3\cdot4}{2}}\\\\T_{5} =\dfrac{8!}{(8-4)!\cdot 4!}\cdot 1\cdot x^{8-\frac{12}{2}}\\\\T_{5} =\dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\cdot x^{8-6}\\\\T_{5} =\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 4!}\cdot x^{2}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4!}\cdot x^{2}\\\\T_{5} =\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{2}\\\\\boxed{T_{5} =70x^{2}}$