Uma viga de 3m de comprimento e massa 120kg, está apoiada nas suas extremidades A e B e suporta duas cargas de 12kg e 8kg a 1m e 2m respectivamente do apoio A. Determine as reações nós apoios
Respostas
FB ≈ 693,3 N.
FA ≈ 706,7 N.
Explicação:
Adota-se o um sistema de referência no centro da viga, onde está aplicada a força peso ( Pv ), positivo para o sentido horário de rotação
As forças de reação dos apoios estão aplicadas nos pontos A e B ( FA e FB ), as cargas aplicadas na viga são representadas pelas massas nos pontos C e D ( mC e mD ).
Para que a viga permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições
∑ Fi = 0
∑ Mi = 0 (I)
As cargas aplicadas no pontos C e D são representadas pelas forças peso das massas colocadas nessas posições, a força peso é dada por
P = m.g
Aplicando a expressão (II) para as massas m C e m D , temos em módulo
FC = PC = mC.g
FC = 12.10
FC = 120 N
FD = PD = mD g
FD = 8.10
FD = 80 N
A força peso da viga será
PV = mV.g
PV = 120.10
PV = 1200 N
Desenhando as forças que agem na viga num sistema de eixos coordenados e aplicando a primeira condição de (I), temos
FA + FB − FC − FD − PV = 0
FA + FB − 120 − 80 − 1200 = 0
FA + FB − 1400 = 0
FA + FB = 1400
O momento de uma força é dado por
MF = F.d
Momento da força peso da viga:
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da viga (P V) e a distância será nula (d = 0), a força peso está aplicada no mesmo ponto tomado como referência, portanto o o momento será
Mpv = 0
Momento da força de reação no apoio A:
O ponto de referência G está no centro da viga, a distância do ponto A ao centro será
d(AG) = L /2
d(AG) = 3/2
d(AG) = 1,5 m.
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força de reação do apoio no ponto A (FA) e a distância será dada pelo valor encontrado, a força de reação tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, portanto o
momento será positivo
M(FA) = FA.d(AG )
M(FA) = 1,5.FA
Momento da força devido a carga no ponto C:
A distância do ponto C ao ponto de referência G será (figura 4)
d(AG) = d(AC) + d(CG )
1,5 = 1 + d(CG)
d(CG) = 1,5 − 1
d(CG) = 0,5 m
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da carga aplicada no ponto C (FC), encontrada na expressão, e a distância será dada pelo valor encontrado, a força peso tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, portanto o momento será negativo
M(FC) = − FC.d(CG)
M(FC) = − 120.0,5
M(FC) = − 60 N.m
Momento da força devido a carga no ponto D: A distância do ponto D ao ponto de referência G
d(AG) = d(AD) − d(DG)
1,5 = 2 − d(DG )
d(DG) = 2 − 1,5
d(DG) = 0,5 m.
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da carga aplicada no ponto D (FD), encontrada na expressão, e a distância será dada pelo valor encontrado, a força peso tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, portanto o momento será positivo
M(FD) = (FD).d(DG)
M(FD) = 80.0,5
M(FD) = 40 N.m
Momento da força de reação no apoio B: O ponto de referência G está no centro da viga, a distância do ponto B ao centro será o mesmo valor encontrado na expressão
d(AG) = d(BG)
Aplicando a expressão, temos a força (F) representada pela força de reação do apoio no ponto B (FB) e a distância será dada pelo valor encontrado, a força de reação tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, portanto o momento será negativo
M(FB) = − FB.d(BG)
M(FB)= − 1,5.FB
Aplicando a segunda condição de (I), temos
M(PV) + M(FA) + M(FC) + M(FD) + M(PB) = 0
Substituindo os dados obtidos
0 + 1,5(FA) − 60 + 40 − 1,5(FB) = 0
1,5.FA − 20 − 1,5.FB = 0
1,5.FA − 1,5.FB = 20
formando um sistema de duas equações a duas incógnitas (FA e FB)
FA + FB = 1400 (1)
1,5.FA − 1,5.FB = 20 (2)
isolando o valor de FA na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos
FA = 1400 - FB (3)
Substituindo (3) em (2):
1,5(1400 - FB) − 1,5.FB = 20
FB ≈ 693,3 N.
Para FA:
FA = 1400 − 693,3
FA ≈ 706,7 N.