Question

Um grupo é constituido por 6 rapazes e 8 moças, determine o número de comissões que podemos formar com tres rapazes e duas moças

Answer 1

Temos uma questão de analise combinatória.

Perceba que o texto não menciona qualquer cargo/hierarquia nas comissões,  ou seja, só estaremos interessados em quem participa do grupo, não a ordem com que são escolhidos.

Sendo assim, poderemos utilizar combinações para determinar as quantidades de grupos.

Dentre os 6 rapazes, devem ser escolhidos 3 para a formação da comissão, logo teremos C₆,₃.

$^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~C_{6,3}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~\dfrac{6!}{3!\,.\,(6-3)!}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~\dfrac{6~.~5~.~4~.~3!}{3~.~2~.~1~.~3!}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~\dfrac{6\!\!\!\backslash~.~5~.~4~.~3\!\!\backslash\!!}{3\!\!\!\backslash~.~2\!\!\!\backslash~.~1~.~3!\!\!\!\backslash}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~5~.~4$

$\boxed{^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}~=~20}$

Dentre as 8 moças, devem ser escolhidas 2 para a formação da comissão, logo teremos C₈,₂

$^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~C_{8,2}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~\dfrac{8!}{2!\,.\,(8-2)!}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~\dfrac{8~.~7~.~6!}{2~.~1~.~6!}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~\dfrac{8\!\!\!\backslash~.~7~.~6\!\!\backslash\!!}{2\!\!\!\backslash~.~1~.~6!\!\!\!\backslash}\\\\\\^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~4~.~7\\\\\\\boxed{^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}~=~28}$

O total de comissões possíveis será, então, dado pelo produto entre o total de agrupamentos dos rapazes e o total de agrupamentos das moças:

$Total~de~Comissoes~=~\left(^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~dos~rapazes}\right)~.~\left(^{Total~de~Agrupamentos}_{~~~~~~das~mocas}\right)\\\\\\Total~de~Comissoes~=~20~.~28\\\\\\\boxed{Total~de~Comissoes~=~560}$