Question

Seja f(t) = b.$a^{t}$, com b ∈ R* e 1 ≠ a ∈R*+, uma função do tipo exponencial que depende do tempo t. Se considerar n o acréscimo de t necessário para que a função triplique seu valor e m o decréscimo de t necessário para que f se reduza a sua terça parte, podemos concluir que n-m é igual a


a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2


Alternativa correta: c)

Answer 1

A definição da alternativa correta é feita a seguir.

Explicação passo-a-passo:

Para obter o triplo do valor da função, fazemos

$3\;.\;f(t)=b\;.\;a^{(t+n)}\\\\3\;.\;b\;.\;a^t=b\;.\;a^{(t+n)}\\\\3\;.\;a^t=a^{(t+n)}\\\\3=\frac{a^{(t+n)}}{a^t}\\\\3=a^{(t+n-t)}\\\\3=a^n$

Considerando a = 10 e aplicando o logaritmo na base 10 a ambos os lados da equação:

$log\;3=log\;10^n\\\\log\;3=n\;.\;log\;10\\\\n=log\;3$

De forma similar, para obter o terço do valor da função, fazemos

$\frac{1}{3}\;.\;f(t)=b\;.\;a^{(t-m)}\\\\\frac{1}{3}\;.\;b\;.\;a^t=b\;.\;a^{(t-m)}\\\\\frac{1}{3}\;.\;a^t=a^{(t-m)}\\\\\frac{1}{3}=\frac{a^{(t-m)}}{a^t}\\\\\frac{1}{3}=a^{(t-m-t)}\\\\\frac{1}{3}=a^{-m}$

Considerando a = 10 e aplicando o logaritmo na base 10 a ambos os lados da equação:

$log\;\frac{1}{3}=log\;a^{-m}\\\\log\;3^{-1}=log\;10^{-m}\\\\-1\;.\;log\;3=-m\;.\;log\;10\\\\-1\;.\;log\;3=-m\\\\m=log\;3$

Logo, $n-m=log\;3-log\;3=0$

Portanto, a alternativa correta é a letra c.