Question

Verifique se são coplanares os vetores abaixo:
ū = (1, 1, 2), v = (3, 1, -1) e û = (0, 2, 1)

Answer 1

Os vetores são complanares se o produto misto entre eles for nulo.

Para verificarmos isto basta calcular o determinante da matriz abaixo:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{array}\right]$

detA = 1*1*1+1*(-1)*0+2*3*2-0*1*2-2*(-1)*1-1*3*1=12

Como o determinante é diferente de 0, os vetores não são coplanares

Answer 2

✅ Depois de ter realizado todos os cálculos, concluímos que os referidos vetores:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores:

     $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 1, 2)\\\vec{v} = (3, 1, -1)\\\vec{w} = (0, 2, 1) \end{cases}$

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto entre estes vetores for igual a "0".

Calculando o produto misto entre os referidos vetores, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\3 & 1 &-1\\0 & 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\3 & 1\\0 & 2\end{matrix} \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot0 + 2\cdot3\cdot2 - 1\cdot3\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot1\cdot0 \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1 - 0 + 12 - 3 + 2 - 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 12 \end{gathered}$

Portanto, o produto misto é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = 12 \end{gathered}$

✅ Como o produto misto é diferente de "0", então os vetores:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \end{gathered}$

 

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Solução gráfica: