Question

Questão 6 - GEOMETRIA
ANALÍTICA E ÁLGEBRA
LINEAR (647)
Código da questão:
30128
Determine o valor de x para que os vetores
ū = (1, x, 2), v = (-1, 3, 2) e W = (-2, 1, 1)
sejam coplanares.

Answer 1

Resposta:

$x = \frac{11}{3}$

Explicação passo-a-passo:

$u = (1, x, 2)$

$v = (-1, 3, 2)$

$w = (-2, 1, 1)$

1° solução (Usando fato de que três vetores linearmente dependentes serem coplanares):

$u = av + bw$

$(1, x, 2) = a(-1, 3, 2) + b(-2, 1, 1)$

$(1, x, 2) = (-a, 3a, 2a) + (-2b, b, b)$

$\left \{ {-a - 2b = 1} \atop {2a + b = 2}} \right.$

$\left \{ {-2a - 4b = 2} \atop {2a + b = 2}} \right.$

$-3b = 4$

$b = \frac{-4}{3}$

$2a + b = 2$

$2a - \frac{4}{3} = 2$

$2a = \frac{4}{3} + 2$

$2a = \frac{4+6}{3}$

$a = \frac{10}{6}$

$a = \frac{5}{3}$

$x = 3a + b$

$x = 3\frac{5}{3} - \frac{4}{3}$

$x = 5 - \frac{4}{3}$

$x = \frac{15 - 4}{3}$

$x = \frac{11}{3}$

2° solução(Usando o fato de que determinante da matriz da união dos vetores ser zero se forem coplanares):

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&x&2\\-1&3&2\\-2&1&1\end{array}\right]$

$det(A) = 1 (3 - 2) - x (-1 + 4) + 2 (-1 + 6) = 0$

$1 - 3x + 10 = 0$

$x= \frac{11}{3}$

Nota: determinante calculado pelo teorema de Laplace