Question

Calcular o limite da soma s=1+2x+3x^2+4x^3+...,com 0 menor que x menor que 1

Answer 1

O limite e representado pela Soma total = 1/(1 - x)²!

1) Primeiramente teremos a soma (S) dada como 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + .... onde 0 < x < 1. Assim, desmembrando a equação teremos:

1 + (x + x) + (x² + 2x²) + (x³ + 3x³) + .....

(1 + x + x² + x³ + ....) + (x + 2x² + 3x³ + .....) (i)

2) Com base no primeiro parênteses de (i) e possível determinar que trata-se de uma progressão geométrica (PG)  infinita de razão x. Logo sua soma sera:

Soma (I) = 1/(1- x)

3) Contudo, o segundo parênteses que corresponde a (i)

(x + 2x² + 3x³ + .....) teremos:

x + (x² + x²) + (x³ + 2x³) + .....

(x + x² + x³ + ....) + (x² + x³ + .....) (ii)

4) Onde a soma termos do primeiro parênteses de (ii) também é uma PG infinita de razão x. Onde sua soma e:

Soma (II) = x/(1- x)

5) Assim o segundo parênteses correspondente a (ii) (x² + 2x³ + .......) teremos:

x² + (x³ + x³) + .....

(x² + x³ + .....) + (x³ + .....) (iii)

6) Por fim, a soma dos termos do primeiro parênteses de (iii) tambem é uma PG infinita de razão onde sua soma:

Soma(iii)  = x²/(1- x)

7) Logo teremos ao final:

Soma total = Soma(i) + Soma(ii) + Soma(iii) + ......

Soma total  = 1/(1 - x) + x/(1 - x) + x²/(1 - x) + .....

Soma total = [(1/(1 - x)]/(1 - x)

Soma total = 1/(1 - x)²