Como se faz essa questão sem aplicar derivadas?
Suponha que num certo mercado, p seja o preço de uma caixa de uvas, x o número de milhares de caixas ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta dada implicitamente por p.x - 20p - 3x + 105 = 0 . Se a oferta está decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, como está variando o preço da caixa no instante em que a oferta é de 5.000 caixas?
Resposta: decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 por dia.
Respostas
É impossível resolver sem usar derivadas pois não é possível isolar a variável e escrever como função de 1º e 2º grau.
Utilizando derivadas:
Seja x a quantidade de caixas, em milhares; p o preço da caixa e t o tempo em dias, temos que se derivarmos implicitamente em relação a t:
d(px)/dt - d(20p)/dt - d(3x)/dt + d(105)/dt = 0
d(px)/dt - 20.dp/dt - 3.dx/dt = 0
x.(dp/dt) + p.(dx/dt) - 20.(dp/dt) - 3.(dx/dt) = 0
A questão informa que a oferta decresce 250 caixas por dia, ou seja, em milhares, será -0,25.
dx/dt = -0,25
Logo:
x.(dp/dt) + p.(-0,25) - 20(dp/dt) - 3.(-0,25) = 0
(x-20).(dp/dt) -0,25p + 0,75 = 0 [Eq. I]
No instante que a oferta é 5 mil caixas, x vale 5. Dessa forma, o preço, pela equação inicial, será:
px - 20p - 3x + 105 = 0
5p - 20p - 15 + 105 = 0
-15p + 90 = 0
p = 6 reais
Assim, na equação I:
(5-20).(dp/dt) -(0,25).(6) + 0,75 = 0
(-15).(dp/dt) - 1,5 + 0,75 = 0
(-15).(dp/dt) = 0,75
dp/dt = -0,05 reais por dia
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Sem usar derivadas, na verdade, estaremos utilizando a noção intuitiva de derivadas, aplicando posteriormente limites, veja:
Montemos uma tabela:
Dia 1: 5,25k caixas; R$ 6,051 ...
Dia 2: 5k caixas; R$ 6,000
Dia 3: 4,75k caixas; R$ 5,951 ...
...
Aparentemente, observamos que a variação (não instantânea) gira em torno de 5 centavos a cada dia que passa. [Divida essa variação por 1, saiba em seguida o porquê].
Variação do preço/ Variação do dia
-0,051 / 1 <= Esta divisão é importante.
Porém, esse ainda não é o valor exato (que já sabemos ser 0,05) para a variação instantanea. Vamos aproximar os dias para que sejam ainda mais perto de 5 mil caixas.
Dia X: 5,1k caixas; R$ 6,0201...
Dia 1: 5k caixas; R$ 6,000
Dia Y: 4,9k caixas; R$ 5,9801...
Observe que, nease caso, a variação do preço foi próxima a 0,021. Note também que o dia X e o dia Y não existem na realidade, pois são uma fração. Se cada +1 dia são -0,25k de redução, logo:
1 dia ##### -0,25 k
K dias ##### -0,1k
K = 0,4
X = 1-0,4 dias
Y = 1+0,4 dias
Tabela:
Dia 0,6: 5,1k caixas; R$ 6,0201...
Dia 1,0: 5k caixas; R$ 6,000
Dia 1,4: 4,9k caixas; R$ 5,9801...
Como a variação da oferta é 0,25k a cada dia, então dividimos a variação do preço por 1 . Agora, quando ela é 0,1k (a cada 0,4 dias), dividimos por 0,4.
Variação do preço/ Variação do dia
-0,0201 / 0,4 = -0,05025 <= Esta divisão é importante
Perceba que a cada vez que aproximamos a variação dos dias a 5k da oferta, aproximamos a variação do preço a 0,05 reais.
Fizemos isso pois foi pedida a variação instantânea em relação ao ponto de 5k (só naquele ponto) e, para isso, devíamos observar as redondezas infinitamente próximas (dependia das redondezas). Isso nada mais é que um limite quando o delta t tende a 0 e é facilmente calculado por derivadas, quando encontramos o diferencial das caixas em relação ao diferencial do tempo:
Variação infinitamente proxima do preço/ Variação infinitamente próxima do dia
dp/dt = -0,05 reais
Resultando em um decrescimento de 0,05 reais por dia no ponto 5 mil caixas como determinamos inicialmente.