Question

Considere o polinômio p(x)=2x^4+3x^3+px^2+qx-3, sabe-se que a expressão é divisível por (x+1)(x-3). a) determine a soma de p e q b) decomponha em factores conhecido os valores de p e q

Answer 1

Utilizando definição de raízes de polinomio e divisibilidade, temos que:

a) -42.

b) $P(x)=(x+1)(x-3)(2x^2+7x+1)$.

Explicação:

Então temos o seguinte polinomio:

$P(x)=2x^4+3x^3+p.x^2+q.x-3$

Se ele é divisível por (x+1)(x-3), isto quer dizer que duas das raízes deste polinomio são x=-1 e x=3, pois todo polinomio é divisível pelas suas raízes na forma (x-x').

Sabemos que se substituirmos o valor de x pelo valor da raíz, então este polinomio deve ser igual a 0, então vamos fazer isso uma vez para cada raíz que temos:

Substituindo a raíz x = -1:

$P(x)=2x^4+3x^3+p.x^2+q.x-3$

$0=2(-1)^4+3(-1)^3+p.(-1)^2+q.(-1)-3$

$0=2-3+p-q-3$

$p-q=4$

Substituindo a raíz x = 3:

$P(x)=2x^4+3x^3+p.x^2+q.x-3$

$0=2(3)^4+3(3)^3+p.(3)^2+q.(3)-3$

$0=162+81+9p+3q-3$

$9p+3q=-240$

$3p+q=-80$

Agora temos duas equações e duas incognitas:

$p-q=4$

$3p+q=-80$

Basta somarmos as duas equações:

$3p+p+q-q=-80+4$

$4p=-76$

$p=-19$

E sabendo p podemos encontrar q:

$p-q=4$

$-19-q=4$

$-q=23$

$q=-23$

Assim com isso podemos responder as questões:

a) determine a soma de p e q.

Basta soma-los agora que os conhecemos:

p + q = -19 - 23 = - 42

b) decomponha em factores conhecido os valores de p e q.

Basta dividirmos o polinomio completo na forma:

$P(x)=2x^4+3x^3-19x^2-23x-3$

Pelas raízes que temos (x+1)(x-3) e deixarmos o resultado como a multiplicação das raízes:

$P(x)=(x+1)(x-3)(2x^2+7x+1)$