Question

(CN) Se a, b, x e y são números naturais não nulos.

$se \\ \\ \: a.b = 5 \\ k = \frac{2 {}^{(a + b) {}^{2} } }{2 {}^{(a - b) {}^{2}}} \ \\x {}^{2} - y {}^{2} = \sqrt[5]{k}$
Qual é o algarismo das unidades do número (y^x - x^y)?

a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
​

Answer 1

$k=\frac{2^{(a+b)^2}}{2^{(a-b)^2}}\\\\k=2^{[(a+b)^2-(a-b)^2]}\\\\k=2^{a^2+b^2+2.a.b-a^2-b^2+2.a.b}\\\\k=2^{4.a.b}\\k=2^{4.5}\\k=2^{20}$

$x^2-y^2=\sqrt[5]{2^{20}}\\x^2-y^2=2^{\frac{20}{5}}\\x^2-y^2=2^4\\(x+y).(x-y)=2^4$

 Agora nós podemos dividir em alguns casos:

( x +y).( x -y) = 16.1

( x +y).( x -y) = 8.2

( x +y).( x -y) = 4.4

1°

x +y = 16

x -y = 1

2.x = 17

   X

 Note que se fosse o contrário { x -y = 16 { x +y = 1 também não iria dar um número natural.

2°

x +y = 8

x -y = 2

2.x = 10

x = 5

5 +y = 8

y = 3

 Note que se fosse o contrário { x -y = 8 { x +y = 2, daria um número negativo, ou seja, não seriam naturais.

3°

x +y = 4

x -y = 4

2.x = 8

x = 4

4 +y = 4

y = 0

  X

 Se fosse o contrário teríamos o mesmo problema, um deles ainda seria nulo.

 Com isso, a única solução seria:

$y^x-x^y\\3^5-5^3\\243-125\\118$

 O algarismo das unidades é o 8.

Dúvidas só perguntar!

Answer 2

Olá.

Sabemos que:

a.b = 5

Primeiro vamos simplificar a equação de k:

$k = \frac{ { {2}^{(a + b) } }^{2} }{ { {2}^{(a - b)} }^{2} }$

Como a base é igual, subtraia os expoentes. Antes disso, calcule a potência de ambos.

Quadrado da soma:

(a+b)^2 =

(a+b) . (a+b) =

a^2 + ab + ab + b^2 =

a^2 + 2ab + b^2

Quadrado da diferença:

(a-b)^2 =

(a-b) . (a-b) =

a^2 - ab - ab + b^2 =

a^2 - 2ab + b^2

Agora vamos realizar a subtração dos expoentes:

a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) =

4ab

Logo k é igual:

$k = {2}^{4ab}$

a.b = 5

$k = {2}^{4 \times 5} \\ \\ k = {2}^{20}$

k = 2^20 ou 1.048.576

A raiz quinta desse número é igual a 16, pois:

16.16.16.16.16 = 1048576

Foi dito que:

${x}^{2} - {y}^{2} = \sqrt[5]{k}$

$\sqrt[5]{k} = 16$

Vamos encontrar a diferença entre o quadrado de dois números, e esse resultado deve ser igual a 16. Consideremos os números de 1 até 9.

1^1 = 1

2^2 = 4

3^2 = 9

4^2 = 16

5^2 = 25

6^6 = 36

7^7 = 49

8^8 = 64

9^9 = 81

Verificando essa tabela, encontramos que:

25 - 9 = 16

Ou seja,

5^2 - 3^2 = 16

Portanto identificamos os valores de x e y.

x = 5

y = 3

Hora de calcular a seguinte expressão que nos dará o número onde será vista a resposta:

${y}^{x} - {x}^{y} =$

Coloque os valores:

${3}^{5} - {5}^{3} = \\ \\ 243 - 125 = \\ \\ 118$

Pronto, agora veja que o algarismo das unidades desse número é o 8.

RESPOSTA: 8. (alternativa E)

Bons estudos! :)