Question

(EN) O conjunto-solução da inequação

$\frac{1}{3 {}^{(x + 2)}} > 3 {}^{ \frac{4}{(1 - x)} }$

Onde x é uma variável real, é:

a) ]-∞,-3[ U ]1, 2[
b) ]-∞,-3[ U ]2, +∞[
c) ]-∞,-2[ U ]1, 3[
d) ]-2, 1[ U ]3, +∞[
e) ]-3, 1[ U ]2, +∞[​

Answer 1

$\frac{1}{3^{x+2}}>3^{\frac{4}{1-x}}\\\\3^{-(x+2)}>3^{\frac{4}{1-x}}$

 Obviamente para que um seja maior que o outro tendo a mesma base, o expoente deve ser maior. Lembrando que x tem que ser diferente de 1.

$-(x+2)-\frac{4}{1-x}>0\\\frac{-(x+2).(1-x)-4}{1-x}>0\\\frac{+x^2+x-2-4}{1-x}>0\\\frac{x^2+x-6}{1-x}>0\\\frac{(x+3).(x-2)}{1-x}>0$

 Agora temos dois casos para que isso seja maior que 0, o denominador e numerador sendo negativos ou os dois sendo positivos:

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1° caso ( os dois positivos)

( x+3).( x-2) > 0

1 -

x +3 > 0

x > -3

x -2 > 0

x > 2

 x > 2

2 -

x +3 < 0

x < -3

x -2 < 0

x < 2

 x < -3

 x > 2 ou x < -3

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1 -x > 0

x < 1

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 Então x > 2 e x < 1 ou x < -3 e x < 1, o primeiro caso não faz sentido, então teremos x < -3.

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2° caso ( os dois negativos)

( x +3).( x -2) < 0

1 -

x +3 < 0

x < -3

x -2 > 0

x > 2

 x < -3 e x > 2

2 -

x +3 > 0

x > -3

x -2 < 0

x < 2

 x > -3 e x < 2

--------------------------

1 -x < 0

x > 1

--------------------------

 Então x > 1 e x < 2 ou x < -3 e x > 1, o segundo não faz sentido, então teremos 1 < x < 2

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 Agora unindo os dois casos:

] -∞, -3[ U ]1, 2[

a)

Dúvidas só perguntar!