Question

Av - Subst. 2 - Algebra Linear e Vetorial


1)No estudo dos espaços vetoriais, em algumas situações, é interessante conhecer o menor conjunto gerador desse espaço vetorial. Para tanto, é necessário ter noção de dependência e independência linear. A respeito desses conceitos, considere o seguinte conjunto de vetores B = {(2, 4, -1), (0, 5, -3), (-2, 1, 1)} do R³, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:

I – O conjunto B é linearmente independente.

PORQUE

II – A equação a1(2, 4, -1) + a2(0, 5, -3) + a3(-2, 1, 1) = (0, 0, 0), obtida por meio dos vetores do conjunto, admite a solução trivial (a1 = a2 = a3 = 0).

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

Alternativas:

a)As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

b)As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

c)A asserção I

Answer 1

Para responder essa questão precisamos lembrar da definição de linearmente independente e dependente.

Sendo $V$ um espaço vetorial e $v_1,v_2~...~v_n$ vetores de $V$, dizemos que os vetores deste espaço é linearmente independente se, $a_1(v_1)+a_2(v_2)~...~a_n(v_n)=0$ e, consequentemente, $a_1=a_2=...=a_n=0$. Caso $a_x\neq 0$, temos que esse conjunto é linearmente dependente.

Sabendo disso, temos que verificar se a1 = a2 = a3 = 0. Logo,

$a_1(2, 4, -1) + a_2(0, 5, -3) + a_3(-2, 1, 1) = (0, 0, 0)\\ \\ 2a_1-2a_3=0\\ \\ 4a_1+5a_2+a_3=0\\ \\ -a_1-3a_2+a_3=0$

Da primeira equação, temos

$2a_1=2a_3\\ \\ a_1=a_3$

Substituímos na segunda equação

$4a_3+5a_2+a_3=0\\ \\ 5a_2+5_3=0\\ \\ 5a_2=-5a_3\\ \\ a_2=-a_3$

Então,

$a_3+3a_3+a_3=0\\ \\ 5a_3=0\\ \\ a_3=0$

Se a3 = 0 então a1 = 0 e a2 = 0.

Então B é um conjunto linearmente independente.

Resposta: Alternativa a )

Answer 2

Resposta:

Para responder essa questão precisamos lembrar da definição de linearmente independente e dependente.

Sendo  um espaço vetorial e  vetores de , dizemos que os vetores deste espaço é linearmente independente se,  e, consequentemente, . Caso , temos que esse conjunto é linearmente dependente.

Sabendo disso, temos que verificar se a1 = a2 = a3 = 0. Logo,

Da primeira equação, temos

Substituímos na segunda equação

Então,

Se a3 = 0 então a1 = 0 e a2 = 0

Explicação passo-a-passo: