Question

Na figura a seguir, o triângulo OAB é equilátero e a equação da reta mediatriz do seguimento AO é r: y=-2+5.

Nessas condições, determine:
a) as coordenadas do vértice A.
b) as coordenadas do vértice B.

Answer 1

Resposta: $A=(4,2)$ e $B=\left(2-\sqrt{3},\ 1+2\sqrt{3}\right)$.

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se primeiro que a mediatriz de um determinado segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio. Nos foi dado que a equação (na forma reduzida) da reta $r$ (mediatriz do segmento $\overline{AO}$) é $r:\ y=-2x+5$. A partir de uma simples análise da imagem anexada, está óbvio que a reta suporte do segmento $\overline{AO}$ é uma função linear (caso particular de uma função afim), que será representada por $s$. Por ser função linear, temos que sua lei de formação é da forma $f(x)=y=mx$ $(m\ \in\ \mathbb{R}^{*})$, ou seja, a respectiva equação é da forma $s:\ y=mx,\ m\ \in\ \mathbb{R}^{*}$. Também é evidente a perpendicularidade entre as retas $r$ e $s$, com isso temos que o produto de seus coeficientes angulares vale $-1$. Sendo assim, o valor de $m\ \in\ \mathbb{R}^{*}$ é:

$m \cdot (-2) =-1\ \ \ \Rightarrow$

$2m = 1\ \ \ \Rightarrow$

$m = \cfrac{1}{2}$

Logo a equação de $s$ será $s: y=\cfrac{1}{2}\ x$.

O abscissa (coordenada $x$) do ponto de interseção entre $r$ e $s$ é obtida ao igualarmos (em $x$) as leis de formação de cada uma das funções afins que designam tais retas. Tendo a abscissa, basta substitui-la em alguma das equações e obter a ordenada (coordenada $y$) correspondente. Portanto:

$\cfrac{1}{2}\ x=-2x+5\ \ \ \Rightarrow$

$\cfrac{x}{2}+ 2x=5\ \ \ \Rightarrow$

$5x=10\ \ \ \Rightarrow$

$x=\cfrac{10}{5}\ \ \ \Rightarrow$

$x=2\ \ \ \ \ \ (i)$

Em $(i)$ está o valor da abscissa, com isso basta substitui-la na equação de $s$. Ou seja:

$y=\cfrac{1}{2}\ \cdot 2=1\ \ \ \ \ \ (ii)$

Encontra-se em $(ii)$ a ordenada do ponto de interseção das retas. Com isso obtém-se o ponto $P=(2,1)$ como ponto de interseção de $r:\ y=-2x+5$ e $s:\ y=\cfrac{1}{2} \ x$. O vértice $A=(x',y')$ $(x',\ y'\ \in\ \mathbb{R}_{+}^{*})$ do triângulo equilátero $\Delta\ OAB$ é uma das extremidades do segmento $\overline{AO}$, e a outra extremidade é a origem do sistema cartesiano ortogonal $O=(0,0)$. Perceba que o ponto $P=(2,1)$ é médio de $\overline{AO}$, logo obteremos que a abscissa $x'$ de $A=(x',\ y')$ vale:

$\cfrac{x'+0}{2}=2\ \ \ \Rightarrow$

$x'=4$

A ordenada:

$\cfrac{y'+0}{2}=1\ \ \ \Rightarrow$

$y'=2$

Por fim, o ponto $A$ é dado por $A=(4,2)$.

O ponto $B=(x'',\ y'')$ $(x'',\ y''\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}})$ pertence à reta mediatriz $r$, logo ele pode ser reescrito como $B=(x'',\ -2x''+5)$. O triângulo é equilátero, então $\left(d_{\overline{BO}}\right)^{2}=\left(d_{\overline{AO}}\right)^{2}=16+4=20$. Com isso:

$(x'')^{2}+(2x''-5)^{2}=20\ \ \ \Rightarrow$

$(x'')^{2}+(4(x'')^{2}-20x''+25)=20\ \ \ \Rightarrow$

$5(x'')^{2}-20x''+25-20=0\ \ \ \Rightarrow$

$5(x'')^{2}-20x''+5=0\ \ \ \Rightarrow$

$(x'')^{2}-4x''+1=0\ \ \ \Rightarrow$

$(x'')^{2}-4x''+1+3=0+3\ \ \ \Rightarrow$

$(x''-2)^{2}=3 \ \ \ \ \ \ (iii)$

De $(iii)$ temos que a única solução possível para $x''$ é $x''=2-\sqrt{3}$ (pois $y''\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}$), e o $y''$ correspondente será $y''=1+2\sqrt{3}$. Portanto, temos que o ponto $B$ é $B=\left(2-\sqrt{3},\ 1+2\sqrt{3}\right)$.

Um grande abraço!