Question

usando o processo geométrico de ar-khow arizmi (completamente de quadrados ) determine as raízes de cada umas das seguintes equação do 2° grau com uma incógnita no conjunto dos números reais:
$\times {}^{2} + 2 \times - 15 = 0$
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Answer 1

sendo:

x² + 2x - 15 = 0

x² + 2x = 15

x² + 2x + 1 = 15 + 1

temos

(x + 1)² = 16

as raízes

x1  + 1 = 4

x1 = 3

x2 + 1 = -4

x2 = -5

Answer 2

A solução da equação é: S = {x e IR / x = 3 ou x = -5}.

A equação quadrática pode ser reescrita como um produto notável ou da soma ou da diferença, observe:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

ou

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Como a equação do enunciado tem sinal positivo no termo com "x", faremos o completamento de quadrados no produto notável da soma.

Para fazer o completamento, devemos comparar o produto notável (neste caso da soma) com a equação, atentando-se para as semelhanças entre as duas.

a^2 + 2ab + b^2

x^2 + 2.1.x - 15

Perceba que para serem iguais, "a" deve ser x, "b" 1, "b^2" também 1. No entanto, o termo independente "-15" impede que b seja 1. Contornaremos esse problema subtraindo 16 e somando 16 na equação (lembre-se de que somar e subtrair o mesmo termo numa equação não a altera).

x^2 + 2x - 15 + 16 - 16 =

x^2 + 2x + 1 - 16 =

(x+1)^2 - 16 =

(x+1)^2 - 4^2 =

(x+1-4).(x+1+4) =

(x-3).(x+5) [Forma fatorada da equação quadrática inicial]

Já que queremos as raízes, basta igualar a forma fatorada a 0.

(x-3).(x+5) = 0

x = 3 ou x = -5