Question

Em um dado referencial, um evento ocorreu na posição x = 4, 0 m no instante t =
6,0ns. (a) Calcule a posição e o instante em que esse mesmo evento ocorreu em um
outro referencial, que se move em rela¸c˜ao ao primeiro com velocidade 0,60c ; (b) repita o cálculo usando a transformação de Galileu.

Answer 1

Utilizando as definições de relatividade restrita, com transformações de Lorentz e de Galileu, temos que:

a) x = 3,65 m e t = -2,5 ns.

a) x = 2,92 m e t = 6 ns.

Explicação:

Sabemos que em relatividade restrita, os pontos no espaço e no tempo variam dependendo da velocidade do referencial observador, da seguinte forma:

$x=\frac{x'-vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$t=\frac{t'-\frac{vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Onde x, t são as coordenadas que querem ser medidas, x',t' são as coordenadas no referencial inercial, v é a velocidade do referencial e c é a velocidade da luz.

Com isso podemos responder as perguntas:

(a) Calcule a posição e o instante em que esse mesmo evento ocorreu em um outro referencial, que se move em relação ao primeiro com velocidade 0,60c.

Basta substituirmos os valores nas formulas acima.

(Lembrese que $6 ns=6.10^{-9}s$)

Para x:

$x=\frac{x'-vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$x=\frac{4-0,6c.6.10^{-9}}{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}$

$x=\frac{4-3,6.3.10^{8}.10^{-9}}{\sqrt{1-0,36}}$

$x=\frac{4-1,08}{0,8}$

$x=\frac{2,92}{0,8}$

$x=3,65m$

Para t:

$t=\frac{t'-\frac{vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$t=\frac{6.10^{-9}-\frac{0,6c.4}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}$

$t=\frac{6.10^{-9}-\frac{2,4}{3.10^{8}}}{\sqrt{1-0,36}}$

$t=\frac{6.10^{-9}-8.10^{-9}}{\sqrt{0,64}}$

$t=\frac{-2.10^{-9}}{0,8}$

$t=-2,5.10^{-9}s$

$t=-2,5 ns$

Assim temos que este evento aconteceu em x=3,65 m e t = -2,5 ns.

(b) repita o cálculo usando a transformação de Galileu.

As transformações de galileu são muito mais simples, do tipo:

Para x:

$x=x'-vt'$

$x=4-0,6c.6.10^{-9}$

$x=2,92m$

Para t:

$t=t'$

$t=6 ns$

Assim para Galileu este evento teria acontecido em x = 2,92 m e t = 6 ns.