Question

Considere a P.G. (a,b,c,d,e), com razão 'a', sendo 'a>0' e 'a≠1'. A soma dos seus cinco elementos é 12+13a e o número x E R+, tal que x≠1, tem-se a seguinte equação:

*foto anexa*

Qual é o valor de x?

Answer 1

Vou usar:

log(a)  b  =log b/log a

e

1/[log b/log a] =log a/log b

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log a /log x + log b/log x + log c/log x+ log d/log x + log e/log x = 5/2

(1/log x) *[log a+log b+log c+log d+log e)=5/2

(1/log x) *[log a+ log a²+ log a³+ log a⁴+ loga⁵)=5/2

(1/log x) *[log a+2 log a+3 log a+4 log a+5 loga)=5/2

(1/log x) *[15 * log a )=5/2(1/log x) *[ log a )=1/6

log x  = 6 * log a

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razão=q=a

a1=a  

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

S₅=a*(1-a⁵)/(1-a) = a *(a⁵-1)/(a-1) =12+13a

=a⁶-a=12a+13a²-12-13a

=a⁶=13a²-12

=a⁶-13a²+12 = 0

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Raízes

a⁶-13a²+12 = 0

fazendo a²=x

a³-13a+12=0

sabemos por observação que 1 é raiz

baixando um grau de a³-13a+12=0  , com Briot Rufini

  |   1   |   0     |  -13  |   12

1  |   1   |   1     |   -12 |  0

a²+a-12=0

x'=[-1+√(1+48)]/2 =(-1+7)/2=3  

x''=[-1-√(1+48)]/2 =(-1-7)/2=-4

Como a²=3  ==> a= √3   ou -√ 3

    a²=-4  ==> a=-2i  ou a=2i

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raízes possíveis

a1=-1

a2=1

a3=-(3)^(1/2)

a4=(3)^(1/2) <<<<   pelas condições imposta do texto

a5=-2i  e a6=2i

a=(3)^(1/2)

log x =6 * log (3)^(1/2)

log x = log 3³

x=3³=27  é a resposta

Answer 2

Resposta: $x=\fbox{27}$.

Explicação passo-a-passo:

Nos foi informado que a sequência $\left(a, b ,c,d,e)$ é uma Progressão Geométrica (P.G.) de primeiro termo $a_{1}=a$ e razão $q=a$ $\left(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}} \setminus\{1\} \right)$. Apenas para complementar (não terá utilidade nesta resolução), lembre-se que a soma $S_{n}$ dos $n$ termos $\left(n\ \in\ \mathbb{N^{*}}\right)$ de uma P.G. limitada qualquer, de primeiro termo $a_{1}$ e razão $q$ $\left(a_{1}\ \in\ \mathbb{R}\ \land\ q\ \in\ \mathbb{R}\setminus\{1\}\right)$, é dada por:

$S_{n}=\cfrac{a_{1}\left(q^{n}-1\left)}{q-1}$

Também deve-se lembrar de três das propriedades dos logaritmos, que é a mudança de base, transformação do produto em soma e logaritmo da potência. Que são dadas por:

$log_{a}(x_{1})=\cfrac{log_{b}(x_{1})}{log_{b}(a)};\ \forall\ x_{1}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \land\ a,b\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\{1\}$

$log_a\left(x_{1} \cdot x_{2}\right)=log_{a}(x_{1})+log_{a}(x_{2});\ \forall\ a,x_{1},x_{2}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \land\ a\neq 1$

$log_{a}(x_{1})^{\theta}=\theta \cdot log_{a}(x_{1});\ \forall\ x_{1}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}},\ \forall\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\{1\}\ \land\ \theta\ \in \mathbb{R}$

Tendo em mente as propriedades mencionas acima, vamos à resolução do exercício. Note que a P.G. $(a,b,c,d,e)$ tem primeiro termo $a_{1}=a$ e razão $q=a$, logo ela poderá ser escrita como:

$(a,b,c,d,e)=\left(a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\right)$

Consequentemente, a soma $S_{5}$ de seus $5$ termos será:

$S_{5}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}$

A questão informa que $S_{5}$ é igual a $12+13a$, com isso temos:

$a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}=12+13a\ \ \ \Leftrightarrow$

$a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}=12+12a+a\ \ \ \Leftrightarrow$

$a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}=12+12a\ \ \ \Leftrightarrow$

$a^{2}\left(1+a\right)+a^{4}\left(1+a\right)=12(1+a)\ \ \land\ \ a\neq -1\ \ \ \Rightarrow$

$a^{4}+a^{2}-12=0\ \ \ \Leftrightarrow$

$a^{4}+4a^{2}-3a^{2}-12=0\ \ \ \Leftrightarrow$

$a^{2}\left(a^{2}+4\right)-3\left(a^{2}+4\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(a^{2}-3\right) \cdot \left(a^{2}+4\right)=0\ \ \land\ \ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\{1\}\ \ \ \Rightarrow$

$a=\sqrt{3}$

E a expressão correspondente:

$\cfrac{1}{log_{a}(x)}+\cfrac{1}{log_{b}(x)}+\cfrac{1}{log_{c}(x)}+\cfrac{1}{log_{d}(x)}+\cfrac{1}{log_{e}(x)}=\cfrac{5}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{x}(a)+log_{x}\left(a^{2}\right)+log_{x}\left(a^{3}\right)+log_{x}\left(a^{4}\right)+log_{x}\left(a^{5}\right)=\cfrac{5}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{x}\left(a \cdot a^{2} \cdot a^{3} \cdot a^{4} \cdot a^{5}\right)=\cfrac{5}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{x}\left(a^{15}\right)=\cfrac{5}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$15 \cdot log_{x}(a)=\cfrac{5}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{x}(a)=\cfrac{1}{6}\ \ \ \ \ \ (i)$

Substituindo $a=\sqrt{3}$ em $(i)$, obtém-se:

$log_{x}\left(\sqrt{3}\right)=\cfrac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\sqrt[6]{x}=\sqrt{3}\ \ \land\ \ x\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\{1\}\ \ \ \Rightarrow$

$x=3^{3}=\fbox{27}$.

Obs.: Embora eu não tenha utilizado, em momento algum desta resolução, a fórmula da soma $S_{n}$ dos $n$ termos de uma P.G. finita, eu a coloquei no início para complementar o tópico abordado. Perceba que ao usarmos a fórmula $S_{n}$ para representar a soma dos cinco elementos $a^{1}$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$ e $a^{5}$ da Progressão Geométrica $\left(a^{1},a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\right)$, surgiria uma outra solução (distinta desta) para o problema.

Um grande abraço!