Question

Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:

Answer 1

Utilizando noções de expansão em binomio de Newton, progressão aritmetica e triangulo de Pascal, temos que n = 8.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte termo de expansão de bionomio:

$(x^2+\frac{1}{2x})^n$

Podemos expandir qualquer binomino, usando a formula de binomio de Newton, que é dada por:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}$

Onde podemos encaixar o nosso caso nesta expansão:

$(x^2+\frac{1}{2x})^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}(x^2)^{n-i}(\frac{1}{2x})^{i}$

Reescrevendo as potencias de x em forma potencial:

$(x^2+\frac{1}{2x})^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}(x^2)^{n-i}(\frac{1}{2}x^{-1})^{i}$

$(x^2+\frac{1}{2x})^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}x^{2n-2i}(\frac{1}{2})^{i}x^{-i}$

Juntando as potencias de x pelo expoente:

$(x^2+\frac{1}{2x})^n=\sum_{i=0}^{n}(2)^{-i}{n \choose i}x^{2n-3i}$

Assim temos que os coeficientes desta expansão são dados por:

$(2)^{-i}{n \choose i}$

E a partir de agora basta ir testando com valores de n, e substituindo i por 1, 2 e 3 até que seja uma progressão aritmetica.

Neste caso é mais facil analisar o triangulo de pascal, pois a combinação linear sempre tem resultados do triangulo de pascal, e o 2 elevado a -1 sempre vai dividir o segundo termo por 2 e o terceiro termo por 4, ou seja, basta olhar o triangulo de Pascal e ver qual das linhas quando for dividida por 2 no segundo term oe por 4 no terceiro fica uma progressão aritmetica.

Vendo isto, temos que n é igual a 8, pois na linha 8, temos os seguintes primeiros termos:

1 , 8 , 28

Que quando divididos por 2 e 4 ficam:

1 , 4 , 7

Que são valores em progressão aritmetica de razão 3.

Assim temos que n = 8.