Question

O carbono 14 é um isótopo radioativo de carbono 12, com uma meia-vida de cerca de 5700ª nos. Quando um organismo morre, o carbono 14 está no mesmo nível que o do ambiente, mas, logo em seguida, começa a se deteriorar. Podemos determinar a idade de um objeto ao saber a porcentagem de carbono-14 que permanece. Nós sabemos que (figura abaixo). Em que A(t) é a quantidade de carbono 14 remanescente após t anos, e A (0) é a quantidade de carbono 14 presente no momento 0 (quando o organismo morreu). Um casaco de pele tem apenas 45% da quantidade normal de carbono-14. Há quanto tempo os animais foram mortos para fazer o casaco?

Answer 1

Conforme o conceito de decaimento radioativo, modelado pela equação $A(t)=A_0.e^{kt}$, o tempo em que os animais foram mortos é de 6566 anos.

Segundo o cálculo diferencial e integral, a taxa de decaimento de um material radioativo é diretamente proporcional à quantidade presente desse material. Em termos matemáticos:

                   

                                  $\frac{dA}{dt} \ \ \alpha \ \ A$

Sabe-se da matemática que para estabelecer uma igualdade, necessita-se multiplicar por um constante, denominada constante de proporcionalidade (aqui definida como k, constante de decaimento radioativo). Assim,

                                    $\frac{dA}{dt}=kA$            (1)

                     

Integrando as integrais de $A_0$ a $A(t)$ e de $0$ a $t$, onde $A_0$ corresponde à quantidade de $C^{14}$ (inicialmente presente (imediatamente após a morte dos animais), $A(t)$ à quantidade de $C^{14}$ remanescente após o tempo t, obtém-se:

                                  $ln(\frac{A(t)}{A_0})=kt$       (2)

Aplicando a função exponencial em ambos o lado da equação, temos:

                                  $\frac{A(t)}{A_0})=e^{kt}$      (3)

                                  ${A(t)=A_0.e^{kt}$                 (4)

                              (Lei do Decaimento Radioativo)

Pelo conceito de tempo de meia vida ($t_{0,5}$),

                  $A(t)=\frac{A_0}{2}$ ou $A(t)=0,5.A_0$  (5)

Assim, aplica-se os dados fornecidos pelo problema para determinador o valor de $k$, para obtermos uma solução geral da Equação Diferencial ordinária (4).

Dados:

tempo de meia-vida: $t=5700$

$A(t)=0,5.A_0$ no tempo de meia vida

                                   $0,5.A_0=A_0.e^{k.5700}$

                                         $0,5=e^{5700k}$          (6)

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação:

                                  $ln(0,5)=ln(e^{5700k})\\\\-0,693=5700k\\\\k=-0,693/5700\\\\k=-0,00012160$              (7)

Dessa forma, a equação com solução particular se torna :

                                   $A(t)=A_0.e^{-0,00012160t}$      (8)

Levando em conta a problemática do enunciado do problema (ou seja, que a quantidade remanescente corresponde a 45% da quantidade inicialmente presente), é possível encontrarmos o tempo em que os animais foram mortos para confeccionar o casaco.

                                   $A(t)=A_0.e^{-0,00012160t}$          

                                   $0,45.A_0=A_0.e^{-0,00012160t}$

                                   $0,45=e^{-0,00012160t}$

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação:

                                   $ln(0,45)=ln(e^{-0,00012160t})$        

                                   $-0.79850769=-0,00012160t$    

                                   $0,00012160t=0.79850769$    

                                  $t=\frac{0.79850769}{0,00012160}$

                                  $t=6566,42 \ anos$