Question

Como indico o vetor associado a cada uma das translações encontradas na alínea anterior?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Cada uma das transformações aplicadas se trata de uma rotação onde saímos de um espaço $S_1$ para ir para um espaço $S_2$ e em seguida um espaço $S_3$ até um espaço $S_n$. Em que N é o número de espaços que temos.

Uma aplicação $R_{1\rightarrow2}: S_1 \rightarrow S_2\\R_{2\rightarrow3}: S_2 \rightarrow S_3\\.\\.\\.\\R_{(n-1)\rightarrow n}: S_{n-1} \rightarrow S_n$

é definida de forma que transformamos o desenho da perspectiva de um espaço para outro.

Aproveitando que o problema se trata de uma situação de simetria, vamos definir uma aplicação $R_i$ qualquer que realize um giro de 90 graus no sentido horário e uma aplicação $R_{-i}$ que realiza um giro de 90 graus no sentido anti-horário.

Perceba que para o giro horário, o ponto (1,0) vira (0,-1); mapeando os pontos temos:

$(1,0) \rightarrow (0,-1)\\(0,-1) \rightarrow (-1,0)\\(-1,0) \rightarrow (0,1)\\(0,1) \rightarrow (1,0)$

Note que é uma transformação linear, portanto, podemos associar uma matriz de transformação:

A matriz é quadrada e opera com a seguinte relação:

$R_i(e_1) = e_2 = Me_1 = \left[\begin{array}{ccc}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{array}\right]e_1$

Onde $e_1$ e $e_2$ são vetores posição de $E_1$ e $E_2$

Como notamos antes:

$\left[\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right] \Rightarrow \left \{ {{0.m_{11} + 1m_{12} = 1} \atop {0.m_{21} + 1m_{22} = 0}} \right.$

Assim:

$m_{12} = 1\\m_{22} = 0$

Utilizando o mesmo raciocínio para outro par de vetores já analisados:

$m_{11} = 0\\m_{21} = -1$

Assim, nossa matriz de transformação da aplicação $R_i$ é:

$M = \left[\begin{array}{ccc}0&1\\-1&0\end{array}\right]$

Além disso, a transformação $R_{-i}$ é a aplicação inversa de $R_{i}$, já que $R_{-i}(R_i(e)) = e$, assim, a matriz de transformação de $R_{-i}$ é a matriz -M:

$-M = \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\end{array}\right]$

Como a figura é simétrica, a partir destas rotações você pode realizar qualquer outra transformação com múltiplas rotações.