Question

A Progressão aritmetrica $\mathsf{\dfrac{7x^2+3}{x^2-4}~;~\dfrac{7x^2+8}{x^2-4}... }$ é decrescente , então o valor de " x " pertence ao interval ??

Bom uso do Látex basta , não se preocupe com explicação passo-a-passo .​

Answer 1

Resposta:

razão =a2-a1

razão = (7x²+8)/(x²-4) -(7x²+3)/(x²-4)

razão =5/(x²-4) < 0

q=5   sempre positivo

q++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

p=(x²-4)   ..raízes x'=-2  e x''=2  ...a=1>0

p++++++++++++++++(-2)-----------------------(2)+++++++++++++

Estudo de sinais:

q++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

p++++++++++++++++(-2)-----------------------(2)+++++++++++++

q/p++++++++++++++(-2)------------------------(2)++++++++++++++++++++

-2  <  x   <  2   ou  (-2 , 2)

Answer 2

Resposta: A Progressão Aritmética é decrescente para qualquer valor de $x$ pertencente ao conjunto $S=\left\{x\ \in\ \mathbb{R}:\ -2<x<2\}$.

Explicação passo-a-passo:

Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais (limitando-se aos reais) em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com um valor real constante $r$ $\left(r\ \in\ \mathbb{R}\right)$, que por sua vez é denominado razão da progressão. Como consequência imediata da definição, obtém-se que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer, a partir do segundo, é constante e igual à razão $r$. Lembre-se que a P.A. genérica $\left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ ,a_{n-1},\ a_{n}\right)$ $\left(n\ \in\ \mathbb{N},\ n\geq 2\right)$ é decrescente quando $a_{n}<a_{n-1}$ $\left(\forall\ n\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}=\mathbb{N^{*}}},\ n\geq 2\right)$. Tendo em mente a condição imposta acima, temos que a progressão aritmética será decrescente com a seguinte condição:

$a_{n}<a_{n-1}\ \ \ \Leftrightarrow$

$a_{n}-a_{n-1}<0\ \ \ \land\ \ \ a_{n}-a_{n-1}=r\ \ \ \Leftrightarrow$

$r<0$

Por fim, conclui-se que uma progressão aritmética qualquer $\left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ ,a_{n-1},\ a_{n}\right)$ é decrescente se, e somente se, sua razão $r$ for negativa $\left(r\ \in\ \mathbb{R_{-}^{*}}\right)$. Retornando ao exercício proposto, temos que descobrir para qual(is) valor(es) de $x$ a P.A. $\left(\cfrac{7x^{2}+3}{x^{2}-4}\ ,\cfrac{7x^{2}+8}{x^{2}-4}\ ,\ \cdots \right)$ é decrescente. Primeiramente, temos que sua razão $r$ vale:

$r=\cfrac{7x^{2}+8}{x^{2}-4}-\cfrac{7x^{2}+3}{x^{2}-4}\ \ \ \Leftrightarrow$

$r=\cfrac{7x^{2}+8-\left(7x^{2}+3\right)}{x^{2}-4}\ \ \ \Leftrightarrow$

$r=\cfrac{7x^{2}-7x^{2}+8-3}{x^{2}-4}\ \ \ \Leftrightarrow$

$r=\cfrac{5}{x^{2}-4}$

Perceba que a razão $r$ da progressão aritmética $\left(\cfrac{7x^{2}+3}{x^{2}-4}\ ,\cfrac{7x^{2}+8}{x^{2}-4}\ ,\ \cdots \right)$ é $r=\cfrac{5}{x^{2}-4}$. Para que tal sequência seja decrescente, deve-se ter $r<0$ (razão negativa). Fazendo $r<0$, obtém-se:

$\cfrac{5}{x^{2}-4}<0\ \ \ \ \ \ (i)$

De $(i)$ depreende-se que a razão $r$ só será negativa $\left(r<0\right)$ quando o denominador não nulo $x^{2}-4$ o for. O porquê disto é evidente, ao passo que o numerador é uma constante real positiva. Assim sendo, a P.A. é decrescente quando $x^{2}-4<0$, ou seja:

$x^{2}-4<0\ \ \ \Leftrightarrow$

$x^{2}<4\ \ \ \Leftrightarrow$

$x^{2}<2^{2}\ \ \ \land\ \ \ x^{2},\ 2^{2}\ \in\ \mathbb{R_{+}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\sqrt{x^{2}}<\sqrt{2^{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$|x|<2\ \ \ \land\ \ \ 2\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$-2<x<2$

Por fim, o conjunto $S$ constituído por todos os valores reais de $x$ que tornam a progressão aritmética $\left(\cfrac{7x^{2}+3}{x^{2}-4}\ ,\cfrac{7x^{2}+8}{x^{2}-4}\ ,\ \cdots \right)$ decrescente é dado por:

$S=\left\{x\ \in\ \mathbb{R}:\ -2<x<2\}$

Um grande abraço!