Question

a) "Sabemos" que o centro de massa de um bastão de
comprimento L e Massa M uniformemente distribuída é em
seu centro geométrico. (a) Demonstre essa afirmação.
(b) Suponha que o bastão não seja uniforme e, sim, que sua
massa varie linearmente com x de acordo com a expressão
λ = αx, onde α é uma constante. Encontre a coordenada x do
seu centro de massa como fração de L.

Answer 1

Utilizando definição de centro de massa, temos que:

a) L/2.

b) aL³/3M.

Explicação:

(a) Demonstre essa afirmação.

O centro de massa de um objeto é dado pela seguinte formulação:

$C=\frac{\int r.dm}{\int dm}$

No nosso caso, a integral de baixo é a própria massa do bastão, então podemos simplificar:

$C=\frac{1}{M}\int r.dm$

E como só temos uma dimensão por ser um bastão, podemos considerar que nosso bastão está no eixo x:

$C=\frac{1}{M}\int x.dm$

Agora temos que substituir o dm, e para isso, basta usarmos a densidade linear dele, que é dada por:

$\lambda=\frac{dm}{dl}$

Ou:

$dm=\lambda.dl$

Substituindo na integral, temos:

$C=\frac{1}{M}\int \lambda x.dl$

Porém o "dl" é unidade de comprimento, que aqui estamos medindo em x, logo, dl = dx:

$C=\frac{\lambda}{M}\int x.dx$

E como o bastão vai de 0 até L, então:

$C=\frac{\lambda}{M}\int_{0}^{L} x.dx$

​

Fazendo esta integral, teremos:

$C=\frac{\lambda}{M}[\frac{x^2}{2}]_{0}^{L}$

$C=\frac{\lambda}{M}(\frac{L^2}{2})$

$C=\frac{\lambda L^2}{2M}$

E como sabemos que a densidade linear é massa sobre comprimento, podemos substituir:

$C=\frac{M.L^2}{L.2M}$

Simplificando, temos:

$C=\frac{L}{2}$

Assim temos que o centro de massa deste bastão é exatamente na metade geometrica dele, em L/2.

(b) Suponha que o bastão não seja uniforme e, sim, que sua massa varie linearmente com x de acordo com a expressão λ = αx, onde α é uma constante. Encontre a coordenada x do seu centro de massa como fração de L.

Basta fazermos a mesma conta, porém agora substituindo a densidade dada na conta anterior:

$C=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} \lambda x.dx$

​

Substituindo a densidade dada, temos:

$C=\frac{a}{M}\int_{0}^{L} x^2.dx$

Fazendo esta integral, teremos:

$C=\frac{a}{M}[\frac{x^3}{3}]_{0}^{L}$

$C=\frac{a}{M}(\frac{L^3}{3})$

$C=\frac{aL^3}{3M}$

E esta é a expressão do centro de massa C = aL³/3M.