. Dados o ponto A3, 4, -2 e a reta r :{x=1+t y=2-t z=4+2t , pede-se
a) determinar as equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r.
b) calcular a distância de A a r
c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r
Respostas
a) As equações paramétricas são: x = -2k +3 e z = k – 2.
É preciso considerar que s é a reta que passa por A e é perpendicular a r, P (1,2,4) é um ponto pertencente a reta r, v(1,-1,2) o vetor diretor da reta r e u (a,b,c) e o vetor diretor da reta s.
Como v ⊥ u, o produto escalar será nulo, sendo assim:
(1,-1,2).(a,b,c) = 0 ∴ a - b + 2 c = 0 (i)
PA (2,2,-6)
Os vetores v,u e PA são coplanares, então o produto misto é nulo:
[u,v,PA] = 0 ∴ a + 5b + 2c = 0 (ii)
(ii) - (i): 6b= 0 ∴ b =0, assim a= -2c
u ( -2c,0 , c ) ∴ u (-2,0,1)
x = -2k +3
y = 4
z = k – 2
b) A distância de A a r é de 2√5.
O cálculo é o seguinte:
d = |AQ x v|/|v|
Em que Q é um ponto qualquer da reta r, Q=P = (1,2,4) e x é produto vetorial.
Obtemos então: d = 2√5.
c) O ponto simétrico de A em relação a r é A' (-5,4,2).
Considerando que s ⊥ r é o ponto de interseção das retas, ou seja, o ponto médio de A e do simétrico em relação a r, A' (x',y',z'). Sendo assim, temos que:
y : 2-t = 4 ∴ t = -2
x = 1-2=-1 ; y = 4 ; z = 4 +2(-2) = 0 ∴ M(-1,4,0)
M = (A+A')/2
-1 = (3+x')/2 ∴ x' = -5
4 = (4+y')/2 ∴ y' = 4
0 = (-2+z')/2 ∴ z'= 2
A' (-5,4,2)
Bons estudos!
Resposta:
Explicação passo-a-passo: