Question

Mostre que a distância entre as retas paralelas (r) Ax+By+C1=0 e (t) Ax+By+C2=0 é dada por D=|C1-C2|/raiz A*2+B*2.

Não estou conseguindo resolver.
Ajuda por favor!!!!​

Answer 1

É verdade que a distância entre r: ax + by + c₁ = 0 e t: ax + by + c₂ = 0 é igual a $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Como as retas r: ax + by + c₁ = 0 e t: ax + by + c₂ = 0 são retas paralelas, então vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância entre elas.

Considere que temos um ponto P = (x₀,y₀) e a reta ax + by + c = 0. A distância entre o ponto e a reta é dada pela fórmula:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Agora, vamos aplicar a fórmula acima.

Observe que o ponto P = (0, -c₂/b) pertence à reta t. Utilizando a fórmula da distância entre o ponto P e a reta r, obtemos:

$d=\frac{|a.0+b.(\frac{-c_2}{b}) + c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=\frac{|-c_2+c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Assim, provamos que, de fato, a distância entre r e t é igual a $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.