Question

suponhamos que um certo microrganismo cresce a uma taxa de 25% ao dia. Quantos dias serão necessários para que a população seja 400 vezes maior que a população inicial? use log2= 0,301; log5=0,699​

Answer 1

Utilizando formulações de porcentagem, função exponenciais e propriedades de logaritmos, temos que é necessario que se passe 268 dias para que a população chegue a este tamanho.

Explicação passo-a-passo:

Crescer em 25%, significa ser multiplicado por 125% por dia, pois assim se pega 100% que já tinha e aumenta 25%.

Por sua vez, 125% em decimais é dado por 1,25, ou seja, crescer 125% é a mesma coisa que multiplicar algo por 1,25, e como este valor é multiplicado por N dias, então multiplicando isto no valor inicial de bacterias B, temos a função população P dada por:

$P=B.(1,25)^N$

Assim queremos que P seja igual a 400 B, então a função fica:

$400B=B.(1,25)^N$

Simplificando a equação temos que:

$400=(1,25)^N$

Aplicando logaritmo na base 10 dos dois lados, temos:

$log(400)=log((1,25)^N)$

Agora vamos simplificar o maximo que pudermos com propriedades de logaritmos, primeiramente sabemos que expoentes caem de logaritmos:

$log(20^{20})=log((1,25)^N)$

$20.log(20)=N.log(1,25)$

Agora vamos tentar simplificar usando expoentes:

$20.log(2.10)=N.log(125.10^{-2})$

Em logaritmos, multiplicações viram somas:

$20.[log(2)+log(10)]=N.[log(125)+log(10^{-2})]$

$20.[log(2)+log(10)]=N.[log(5^3)+log(10^{-2})]$

$20.[log(2)+log(10)]=N.[3.log(5)-2.log(10)]$

E agora basta substituir, pois log(2) = 0,301, log(5) = 0,699 e log(10) = 1:

$20.[0,301+1]=N.[3.0,699-2]$

$26,02=N.0,097$

$N=\frac{26,02}{0,097}$

$N=268,2$

Assim é necessario que se passe 268 dias para que a população chegue a este tamanho.