3. Zé Munheca e João Gastão são dois irmãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata de dinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atento aos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazo de 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado. Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue controlar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade a cada 3 anos. Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igualmente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a João Gastão uma quantia igual a 1024 vezes a quantia dada a Zé Munheca. Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os irmãos herdaram de seu pai. a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na herança os dois irmãos terão a mesma quantidade de dinheiro? b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança, aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia igual a 5 vezes a quantia de João Gastão? Se necessário, utilize log 2 = 0, 30.
Respostas
Sendo x a quantia recebida por Zé Munheca, temos que João recebeu 1024x. Pelos dados do enunciado, as equações para as quantias dos irmãos será:
Zé: y = x.2^(t/2)
João: y = 1024x.(1/2)^(t/3)
a) Para que os dois tenham a mesma quantidade, devemos igualar as equações:
x.2^(t/2) = 1024x.(1/2)^(t/3)
2^(t/2) = 1024.(1/2)^(t/3)
Aplicando o logaritmo de base 2:
log₂ 2^(t/2) = log₂ 1024.(1/2)^(t/3)
(t/2).log₂ 2 = log₂ 1024 + log₂ (1/2)^(t/3)
t/2 = 10 + (t/3).log₂ 1/2
t/2 = 10 + (t/3).(-1)
t/2 + t/3 = 10
5t/6 = 10
t = 12 anos
b) Neste caso, temos que Zé deverá ter 5 vezes a quantia de João. Se após 12 anos eles tem a mesma quantia, partiremos daí:
x.2^(t/2) = 5x.(1/2)^(t/3)
2^(t/2) = 5.(1/2)^(t/3)
log 2^(t/2) = log 5 + log (1/2)^(t/3)
(t/2).log 2 = 0,7 + (t/3).log 1/2
0,15.t = 0,7 - 0,1.t
0,25.t = 0,7
t = 2,8 anos
Isso acontecerá após 14,8 anos.