Question

Calcular o valor de a e b tal que a+√b = ∛[2+(10√3)/9]. Obrigada a quem ajudar.

Answer 1

Um pouco de teoria:

Primeiramente, considere o seguinte radical cúbico duplo (expressão irracional) genérico $\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}$, em que $a,\ b$ são inteiros distintos de zero $(a,\ b\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$, $c$ é um inteiro positivo $(c\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}})$ e $\sqrt{c}$ um número irracional também positivo $\left(\sqrt{c}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\mathbb{Q}\right)$. Objetivando transformar o radical acima em uma soma equivalente e de escrita mais simplificada, faz-se necessário pensar na existência de uma soma de duas parcelas, que, ao ser elevada à terceira potência (cubo) resulte no radicando $a+b\sqrt{c}$. Note que exatamente uma das duas únicas parcelas da referida soma deve ser um número irracional do tipo $y\sqrt{c}$, onde $y$ é um inteiro não nulo $(y\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$, e a outra é um inteiro não zero $x$ $(x\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$. O porquê disso é evidente, visto que ao "cubarmos" (elevarmos ao cubo) a expressão $x+y\sqrt{c}$, encontraremos uma potência que também possui o irracional $\sqrt{c}$ em sua composição. Dessa forma, devemos escrever:

$\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}=x+y\sqrt{c}$

Conhecendo a igualdade acima, basta elevar ambos os membros à terceira potência (ao cubo), e depois "chutar" valores para $x$ e $y$ (os valores de cada são geralmente $1,\ 2,\ 3$) que satisfazem as duas equações que surgirão após "cubar" a igualdade $(i)$. Este é o modo mais genérico, sendo indicado apenas em último caso. Existe um caso particular bem interessante e que facilita muito (vai facilitar nesta resolução), que é quando a expressão $x+y\sqrt{c}$ é do tipo $x+\sqrt{c}$, ou seja, para $y=1$ $(x+y\sqrt{c}=x+\sqrt{c}\ \Leftrightarrow\ y=1)$. Usaremos

$y=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^{2}=\cfrac{b-c}{3}\ \in\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}$

E, para $y=1$, o único valor para $x$ é aquele que verifica a seguinte igualdade:

$x\left(x^{2}+3c\right)=a$

Resolução:

Tendo em mente todos os conceitos abordados acima, fica fácil resolver o exercício. Repare que, antes mesmo de aplicar a teoria e resolver o exercício, faz-se necessário reescrever a expressão irracional cúbica  $\sqrt[3]{2+\cfrac{10\sqrt{3}}{9}}$. Reescrevendo-a, temos:

$\sqrt[3]{2+\cfrac{10\sqrt{3}}{9}}=\sqrt[3]{\cfrac{54}{27}+\cfrac{30\sqrt{3}}{27}}=\cfrac{\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}}{3}$

Para dar seguimento à resolução, chamaremos $\cfrac{\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}}{3}$ de $n$, o que equivale a:

$3n=\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}$

Agora, baseado em tudo que foi dito na teoria acima, suporemos que $\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}=3n$ possa ser escrita, de maneira equivalente e simplificada, como segue:

$\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}=t+q\sqrt{3};\ q,\ t\ \in\ \mathbb{Z^{*}}$

Também é sabido que:

$q=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ t^{2}=\cfrac{30-3}{3}=9\ \in\ \{1,4,9,16,25,\cdots\}$

E por ser verdade que $t^{2}=9\ \in\ \{1,4,9,16,25,\cdots\}$, obtém-se:

$q=1$

E, para $q=1$, o único valor para $t$ é $t=3$, pois $t=-3$ não verifica a seguinte igualdade:

$t\left(t^{2}+9\right)=54$

Por fim, está comprovado que o radical cúbico duplo $\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}$ pode ser escrito, de maneira equivalente e simplificada, por $3+\sqrt{3}$. Ou seja:

$\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}=3+\sqrt{3}$

Mas $\sqrt[3]{54+30\sqrt{3}}=3+\sqrt{3}=3n$, então $n$ vale:

$n=\sqrt[3]{2+\cfrac{10\sqrt{3}}{9}}=1+\cfrac{1}{3}\ \sqrt{3}$

Obs.: ainda relacionado à teoria, caso seja comprovado o fato de $y$ ser diferente de $1$ $(y\neq 1)$, ou equivalentemente $x^{2}=\cfrac{b-c}{3}$ não ser um quadrado perfeito positivo $\left(x^{2}=\cfrac{b-c}{3}\ \notin\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}\right)$, deve-se proceder do modo mais genérico possível, e com isso faz-se necessário partir da equação $(i)$ (após reescrever o radical cúbico) e seguir de acordo com as orientações dadas.