Question

Como terminar todos os pontos de descontinuidade da função$f(x) = \frac{x}{x^2 + 7x + 12}$

Answer 1

Determinar os pontos de descontinuidade da função

    $\mathsf{f(x)=\dfrac{x}{x^2+7x+12}}$

Primeiramente, devemos encontrar qual é o domínio da função. Como f é uma função racional, o domínio deve excluir todos os valores de x que anulam o denominador. Resolvendo a equação abaixo,

    $\mathsf{x^2+7x+12=0}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 12}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=49-48}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=1}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad x=\dfrac{-7\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-7\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-7\pm 1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-7-1}{2}\quad ou\quad x=\dfrac{-7+1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-8}{2}\quad ou\quad x=\dfrac{-6}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-4\quad ou\quad x=-3}$

Logo, o domínio de f é

    $\mathsf{D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-4,\,-3\}.}$

O símbolo \ indica diferença entre conjuntos, ou seja, estamos excluindo do domínio os elementos − 4 e − 3, pois estes são raízes do denominador.

Toda função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. Portanto, os únicos pontos de descontinuidade de f são aqueles onde ela não está definida, isto é

    $\mathsf{x=-4\quad e\quad x=-3\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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