Question

Determinar o ponto C (m, 2m) equidistante dos pontos A (-7, 0) e B (3, 0).​

Answer 1

Cálculo da distância de A até C:

$\Delta x=m-(-7)=m+7\\ \Delta y=2m-0=2m$

$D_{A, C}=\sqrt{{(\Delta x)}^{2}+{(\Delta y)}^{2}}$

$D_{A, C}=\sqrt{{(m+7)}^{2}+{(2m)}^{2}}$

$D_{A, C}=\sqrt{{m}^{2}+14m+49+4{m}^{2}}$

$D_{A, C}=\sqrt{5{m}^{2}+14m+49}$

Cálculo da distância de B até C:

$\Delta x=m-3\\ \Delta y=2m-0=2m$

$D_{B, C}=\sqrt{{(\Delta x)}^{2}+{(\Delta y)}^{2}}$

$D_{B, C}=\sqrt{{(m-3)}^{2}+{(2m)}^{2}}$

$D_{B, C}=\sqrt{{m}^{2}-6m+9+4{m}^{2}}$

$D_{B, C}=\sqrt{5{m}^{2}-6m+9}$

O exercício afirma que os pontos são equidistantes podemos escrever :

$D_{A, C}=D_{B, C}$

$\sqrt{5{m}^{2}+14m+49}=\sqrt{5{m}^{2}-6m+9}$

$\cancel{5{m}^{2}}+14m+49=\cancel{5{m}^{2}} -6m+9$

$14m+49=-6m+9 \\14m+6m=9-49 \\ 20m=-40$

$m=-\frac{4\cancel{0}}{2\cancel{0}}$

$\boxed{\boxed{m=-2}}$

$\boxed{\boxed{C(-2,-4)}}$

Answer 2

Utilizando a fórmula de distância entre dois pontos do plano, calculamos que m é igual a -2 e que o ponto C é dado por (-2, -4).

Distância entre dois pontos

Dizemos que um objeto é equidistante de dois outros objetos no plano cartesiano quando este possui a mesma distância dos dois objetos.

Ou seja, como a questão afirma que o ponto C é equidistante dos pontos A e B, podemos afirmar que, a distância entre os pontos A e C é igual à distância entre os pontos B e C.

Pela fórmula de distância de dois pontos no plano cartesiano, podemos escrever a igualdade:

$\sqrt{ (m + 7)^2 + (2m)^2 } = \sqrt{ (m - 3)^2 + (2m)^2} \Rightarrow (m + 7)^2 + 4m^2 = (m-3)^2 + 4m^2 \Rightarrow (m + 7)^2 = (m-3)^2$

Logo, temos que m + 7 = m - 3 ou m + 7 = -(m - 3). A igualdade m + 7 = m - 3 não possui solução, portanto, podemos escrever que:

m + 7 = -m + 3

2m = -4

m = -2

Substituindo esse resultado na expressão das coordenadas do ponto C, obtemos que:

C = (-2, -4)

Para mais informações sobre distância entre pontos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/288153

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