Question

Considere o paralelogramo formado sobre os vetores u=2i+3j-k e v=-i-2j+k, qual a área e a altura?

Answer 1

Considerando que o paralelogramo é formado sobre os vetores:

u = 2i + 3j − k

v = −i − 2j + k

Podemos escrevê-los como:

u = (2,3,−1)

v = (−1,−2,1)

• A área do paralelogramo será o módulo do produto vetorial entre os vetores u e v (Área = A = ||u×v||).

Ou seja, vamos dispor essas coordenadas em uma matriz e calcular o seu determinante.

Vamos calcular o determinante dessa matriz B = u×v

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&3&-1\\-1&-2&1\end{array}\right]$

Vou utilizar a Regra de Sarrus.

(Observe a imagem em anexo)

i.3.1 + j.(−1).(−1) + k.(2).(−2) − [k.(3).(−1)] − [i.(−1).(−2)] − [j.2.1]

3i + j − 4k − [−3k] − [2i] − [2j]

3i + j − 4k + 3k − 2i − 2j

det(B) = i − j − k

Isto é:  u×v = (1, −1. −1)

Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial.

||u×v|| = $\sqrt{(1)^{2} + (-1)^{2} + (-1)^2}$

||u×v|| = $\sqrt{3}$

A área desse paralelogramo é: A = $\sqrt{3}$ unidades de área.

A área do paralelogramo também é dada por:  A = b.h

(produto da base pela altura)

Vamos considerar a altura h relativa à base definida pelo vetor u.

A norma do vetor u será o comprimento dessa base (b).

||u|| = $\sqrt{(2)^{2} + (3)^{2} + (-1)^{2}}$

||u|| = $\sqrt{4+ 9 + 1}$

||u|| = $\sqrt{14}$

Sendo assim:

A = $\sqrt{3}$

b = $\sqrt{14}$

A = b.h

$\sqrt{3}$ = $\sqrt{14}$.h

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$

Racionalizando:

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}.\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\\ \\h = \frac{\sqrt{42}}{14}$

A altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor u é:  h =  $\frac{\sqrt{42}}{14}$ unidades de comprimento.

Agora, vamos considerar a altura h relativa à base definida pelo vetor v.

A norma do vetor v será o comprimento da base (b).

$||v|| = \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}+(1)^{2}}$

$||v|| = \sqrt{1+4+1}$

$||v|| = \sqrt{6}$

Agora:

A = $\sqrt{3}$

b = $\sqrt{6}$

A = b.h

$\sqrt{3} = \sqrt{6}$.h

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Racionalizando:

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}.\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{\sqrt{18}}{6}$

A altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor v é:  h = $\frac{\sqrt{18}}{6}$ unidades de comprimento.

Espero ter ajudado. :)

Aprenda mais em:

1) Regra de Sarrus: https://brainly.com.br/tarefa/24719709

2) Determinar um vetor ortogonal a outros vetores: https://brainly.com.br/tarefa/22781825

3) Sistema Linear: https://brainly.com.br/tarefa/22781813