Question

(URCA-2012) Sejam f , g :ℝ→ℝ funções tais que f (g(x)) = x2 +2 e g(x) = 3x +5. O gráfico de f(x) é tal que:
a) Intersecta o eixo x em dois pontos.
b) Intersecta o eixo x em um ponto.
c) Não intersecta o eixo x.
d) É uma reta.
e) Não intersecta o gráfico de g(x).

OBS: x2( x ao quadrado)

Answer 1

O gráfico de f(x) é tal que não intersecta o eixo x.

Perceba que f(g(x)) é uma função do segundo grau e que g(x) é uma função do primeiro grau.

Então, a função f é do segundo grau, ou seja, f(x) = ax² + bx + c.

Sendo assim, temos que:

f(g(x)) = a(3x + 5)² + b(3x + 5) + c

f(g(x)) = a(9x² + 30x + 25) + 3bx + 5b + c

f(g(x)) = 9ax² + 30ax + 25a + 3bx + 5b + c

f(g(x)) = 9ax² + (30a + 3b)x + (25a + 5b + c).

Como f(g(x)) = x² + 2, então:

9ax² + (30a + 3b)x + (25a + 5b + c) = x² + 2.

Comparando os termos semelhantes, obtemos:

{9a = 1

{30a + 3b = 0

{25a + 5b + c = 2.

O valor de a é 1/9. Sendo assim:

30/9 = -3b

b = -10/9

e

25/9 - 50/9 + c = 2

c = 43/9.

Portanto, a função f é f(x) = x²/9 - 10x/9 + 43/9. Vamos calcular o valor de delta:

Δ = (-10/9)² - 4.1/9.43/9

Δ = 100/81 - 172/81

Δ = -72/81.

Como Δ < 0, então a função f não possui raízes reais. Portanto, a alternativa correta é a letra c).