Question

(Cesgranrio-RJ) Se ( x, y) satisfaz a equação $3.x+4.y=12$, então o valor mínimo de $\sqrt{x^2+y^2}$ é:

R: $\frac{12}{5}$

Answer 1

Um pouco de teoria:

Antes de tudo, suponha que $b,\ c$ sejam dois números reais arbitrários $(b,\ c\ \in\ \mathbb{R})$ e $a$ um real distinto de zero $(a\ \in\ \mathbb{R^{*}})$. Agora, considere a função $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ que associa a cada real $x$ de seu domínio $D(f)=\mathbb{R}$ ao valor $ax^{2}+bx+c$ do respectivo contradomínio $CD(f)=\mathbb{R}$ $\left(x\longmapsto ax^{2}+bx+c\right)$. A função $f$ assim definida é denominada Função Polinomial do Segundo Grau ou Função Quadrática, e sua lei de formação é dada por:

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c$

Não será demonstrado aqui, mas faz-se necessário salientar que a curva representativa (gráfico) de funções quadráticas é uma Parábola, curva esta que sempre assumem um valor máximo ou mínimo global, a depender do sinal do coeficiente líder $a$ do termo quadrático $ax^{2}$. O discriminante do polinômio quadrático (trinômio do segundo grau) $ax^{2}+bx+c$ é representado pela letra grega maiúscula $\Delta$ (delta) e é definido como $b^{2}-4ac$, ou seja:

$\Delta:=b^{2}-4ac$

Para dar seguimento à resolução, consideremos o caso em que o coeficiente dominante (líder) $a$ é positivo $\left(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)$, sendo assim o gráfico de $f(x)=ax^{2}+bx+c$ é uma parábola cuja concavidade está voltada para cima, e consequentemente assumirá um valor mínimo global em um ponto $V=(x_{\mathsf{v}},y_{\mathsf{v}})$, denominado Vértice da Parábola. Também não demonstraremos aqui, mas o valor mínimo de $f(x)$ será dado pela ordenada $y_{\mathsf{v}}$ do vértice, que é:

$y_{\mathsf{v}}=-\dfrac{\Delta}{4a}$

E a abscissa correspondente $x_{\mathsf{v}}$ será:

$x_{\mathsf{v}}=-\dfrac{b}{2a}$

Resolução:

Do exercício, nos foi dado que $3x+4y=12$, sendo $x,\ y\ \in\ \mathbb{R}$ (restringindo o problema aos números reais). Da igualdade acima, temos:

$3x+4y=12\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$\dfrac{3x}{4}+\dfrac{4y}{4}=\dfrac{12}{4}\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$\dfrac{3x}{4}+y=3\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$y=3\left(1-\dfrac{x}{4}\right)\ \ \ \ \Longrightarrow$

$y^{2}=9\left(\dfrac{x}{4}-1\right)^{2}\ \ \ \ \ \ (i)$

A questão proposta pede o valor mínimo de $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=k$ $(min(k))$. De $(i)$ temos $y^{2}=9\left(\dfrac{x}{4}-1\right)^{2}$, com isso basta substituir $y^{2}$ por $9\left(\dfrac{x}{4}-1\right)^{2}$ no interior do radical quadrático (radicando) acima. Logo:

$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=k=\sqrt{x^{2}+9\left(\dfrac{x}{4}-1\right)^{2}}\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$k=\sqrt{x^{2}+9\left(\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{x}{2}+1\right)}\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$k=\sqrt{\dfrac{16x^{2}}{16}+\dfrac{9x^{2}}{16}-\dfrac{9x}{2}+9}\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$k=\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{16}-\dfrac{9x}{2}+9}\ \ \ \ \ \ (ii)$

Perceba que o radicando situado no segundo membro da equação $(ii)$ é a seguinte função quadrática:

$g(x)=\dfrac{25x^{2}}{16}-\dfrac{9x}{2}+9$

O coeficiente líder de $g(x)$ é $\dfrac{25}{16}$, que é um real positivo $\left(\dfrac{25}{16}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)$, logo a função possui um valor mínimo $y_{\mathsf{v}}$ igual a:

$y_{\mathsf{v}}=-\dfrac{\Delta}{4a}\ \ \ \ \Longrightarrow$

$y_{\mathsf{v}}=\dfrac{\left(-\dfrac{9}{2}\right)^{2}-4 \cdot \dfrac{25}{16} \cdot 9}{4 \cdot \dfrac{25}{16}} \cdot (-1)\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$y_{\mathsf{v}}=\dfrac{144}{25}$

Sabe-se que o valor de $k=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ será mínimo quando o radicando $\left(x^{2}+y^{2}\right)$  também o for. O radicando $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ é a função $g(x)=\dfrac{25x^{2}}{16}-\dfrac{9x}{2}+9$, que tem valor mínimo $min(g(x))=y_{\mathsf{v}}=\dfrac{144}{25}$. Por fim, o valor mínimo de $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ será:

$min(k)=min\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\boxed{\dfrac{12}{5}}$

Um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

3x+4y=12

y=(12-3x)/4 (i)

P(x)=x²+y²  (ii)

(i)  em (ii)

P(x)=x²+[(12-3x)/4]²

P(x)=x²+[144-72x+9x²]/16

P(x)=x²+9x²/16 -9x/2 +9

P(x)=(25/16)*x²-9x/2+9

a=25/16>0 , então o polinômio tem ponto de mínimo, que é o  vértice

vértice=(vx,vy)

vy é o menor valor de P(x)

vy=-Δ/4a= -[81/4 -225/4]/(25/4) =5,76

√5,76 = 2,4 =24/10 =12/5 que é a resposta