Question

A inequação | x – 2 | < 5 corresponde aos pontos da reta real cuja distância a 2 é menor ou igual a 5.
E se fosse | x + 2 | < 5, também corresponderia aos pontos da reta real cuja distância a 2 é menor ou igual a 5? Explique o motivo. Obrigada.

Answer 1

Explicação:

De um modo genérico, suponha que $x$ seja uma variável real $(x\ \in\ \mathbb{R}})$ e $a$ um número real positivo arbitrário $(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}})$. Com isso faz-se necessário apresentar a seguinte Inequação Modular genérica:

$|x|~\leq~ a\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$-a~\leq~ x~\leq~ a$

Já no caso $|x|~\geq~ a$, em que o módulo de $x$ é maior ou igual que $a$, obtém-se:

$|x|~\geq ~a\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$x~\geq~a\ \ \ \ \lor\ \ \ \ x~\leq~-a$

Agora, caso a expressão no interior do módulo seja $(x-k)$, sendo $k$ um número real arbitrário $(k\ \in\ \mathbb{R})$, obteremos a seguinte inequação envolvendo módulos:

$|x-k|~\leq ~a\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$-a~\leq~x-k~\leq~a\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$-a+k~\leq~x-k+k~\leq~a+k\ \ \ \ \Longleftrightarrow$

$-a+k~\leq~x~\leq~a+k\ \ \ \ \ \ (i)$

Perceba que a dupla desigualdade explícita em $(i)$, que por sua vez é o respectivo intervalo de soluções da inequação modular $|x-k|~\leq~a$, é constituída apenas por valores pertencentes à reta real ${\overleftrightarrow{Ox}}$ cuja distância $d$ a $k$ é sempre menor ou igual que $a$ $(d\ \in\ \mathbb{R_{+}},\ d~\leq~a)$. Sendo assim, se a inequação modular for do tipo:

$|x+k|~\leq~a$

Basta reescrevê-la e transformá-la em:

$|x-(-k)|~\leq~a$

Que é a representação algébrica de todos os valores reais de $x$ pertencentes à reta real, cuja distância a $-k$ é sempre menor ou igual que $a$.

Um grande abraço!