A circunferência de equação geral x² + y² +6x -14y -42=0 tem centro C (m, n) e raio R. sendo assim, a expressão (n - m + R)² vale:
A) 0
B) 1
C) 100
D) 225
E) 400
Respostas
Olá, tudo bem?
Tópico: GEOMETRIA ANALÍTICA
A equação reduzida de uma circunferência de centro C (xo; yo) e raio R é dada por:
(x—xo)² + (y—yo)² = R²
Neste caso, teremos que escrever a equação x² + y² + 6x - 14y - 42 = 0 na forma reduzida.
Assim, teremos:
x² + y² + 6x — 14y — 42 = 0
=> x² + y² + 6x — 14y = 42
=> x² + 6x + y² — 14y = 42, teremos que preencher os quadrados; de modo a obtermos um caso notável.
x² + 6x + 3², pois, por definição, tem-se o primeiro monômio ao quadrado, mais (ou menos) o dobro do primeiro monômio pelo segundo mais o segundo monômio ao quadrado. Daí, fica claro que o primeiro monômio é x, então 6x = 2•3•x, por isso, o segundo termo é 3, e, deve estar ao quadrado!
Note que o 2 é da fórmula!
Segue-se o mesmo raciocínio para y² — 14y:
y² — 2•7•y + 7².
E, como estamos adicionando novos coeficientes ao primeiro membro, então, de modo a equilibrar teremos que adicioná-los, também, no segundo membro. Portanto:
x² + 6x + 3² + y² — 14y + 7² = 42 + 3² + 7²
Do conhecimento sobre casos notáveis, sabe-se:
(a±b)² = a² ± 2•a•b + b²
Então, podemos escrever o primeiro membro como:
(x + 3)² + (y — 7) = 42 + 9 + 49
=> (x + 3)² + (y — 7)² = 100
E, como sabemos que nao forma reduzida da equação da circunferência o raio R escreve-se ao quadrado, teremos: R² = 100 => R = 10
=> (x + 3)² + (y — 7)² = 10²
Extraindo os dados:
- CENTRO (3;—7); => m = 3 e n = — 7
- RAIO = 10.
Portanto:
(n — m + R)² = (— 7 — 3 + 10)²
(n — m + R)² = 0²
(n — m + R)² = 0
Letra A
Espero ter ajudado!
A definição da alternativa correta é feita a seguir.
Explicação passo-a-passo:
Reorganizando os termos da equação, temos:
Completando os quadrados:
Logo, temos:
Portanto, a alternativa correta é a letra E.