Question

A = [ 0 − 1 2 3 ]
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, seja a matriz
A
=
[
0
−
1
2
3
]
. São autovetores de A, os vetores:

Answer 1

Utilizando conceitos de autovalores e autovetores, temos que esta matriz temos que seus autovetores são (-1,1) e (1,-2), ou qualquer combinação linear destes vetores.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\2&3\end{array}\right]$

Então vamos primeiramente subtrair a diagonal principal pelos seus autovalores:

$A-\lambda=\left[\begin{array}{cc}-\lambda&-1\\2&3-\lambda\end{array}\right]$

Agora vamos igualar este determinante a 0, para encontrar os auto valores:

$A-\lambda=\left[\begin{array}{cc}-\lambda&-1\\2&3-\lambda\end{array}\right]$

$det(A)=-\lambda(3-\lambda)+2=0$

$det(A)=\lambda^2-3\lambda+2=0$

Fatorando esta equação com base em suas raízes:

$(\lambda-1)(\lambda-2)=0$

Assim temos que seus autovalores são 1 e 2.

Agora basta supormos um vetor aleatório e multiplicarmos ele pela matriz e pelo autovalor e encontrarmos para cada autovalor seu autovetor:

Para o autovalor 1:

$\left[\begin{array}{cc}0&-1\\2&3\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\lambda.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}0&-1\\2&3\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=1.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Assim montando as equações de multiplicação:

$\left[\begin{array}{c}-b\\2a+3b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Assim temos que:

$\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-b\\b\end{array}\right]$

$=b.\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$

Assim temos que este é o vetor (-1,1).

Para o autovalor 2:

$\left[\begin{array}{cc}0&-1\\2&3\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\lambda.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}0&-1\\2&3\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=2.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Assim montando as equações de multiplicação:

$\left[\begin{array}{c}-b\\2a+3b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2a\\2b\end{array}\right]$

Assim temos que:

$\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\-2a\end{array}\right]$

$=a.\left[\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right]$

Assim temos que este é o vetor (1,-2).

Assim analisando esta matriz temos que seus autovetores são (-1,1) e (1,-2) ou qualquer combinação linear destes vetores.