Question

Dados:
tgx= -2
x é um arco do 2° quadrante

O valor de secx + cossecx é:

a) -√5
b) -√5/4
c) - √5/2
d) √5/2
e) √5​

Answer 1

Dado x um arco do 2º quadrante, tal que

    $\mathsf{tg\,x=-\,2\qquad (i)}$

utilize a seguinte identidade para encontrar sec x:

    $\mathsf{sec^2\,x=1+tg^2\,x}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad sec^2\,x=1+(-2)^2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sec^2\,x=1+4}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sec^2\,x=5}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sec\,x=\pm\,\sqrt{5}}$

Como x é do 2º quadrante, a secante é negativa. Logo,

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad sec\,x=-\,\sqrt{5}\qquad (ii)}$

Por (i), segue que

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{sen\,x}{cos\,x}=-\,2}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad sen\,x=-\,2\,cos\,x}$

Tomando os inversos dos dois lados, temos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{sen\,x}=\dfrac{1}{-\,2\,cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{sen\,x}=-\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cossec\,x=-\,\dfrac{1}{2}\cdot sec\,x}$

Substituindo o valor de sec x = − √5, obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad cossec\,x=-\,\dfrac{1}{2}\cdot (-\sqrt{5})}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cossec\,x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\qquad (iii)}$

Logo,

    $\mathsf{sec\,x+cossec\,x=-\,\sqrt{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sec\,x+cossec\,x=\dfrac{-2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sec\,x+cossec\,x=-\,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\quad\longleftarrow\quad resposta:~alternativa~c).}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)