Question

Energia potencial gravitacional e elástica.
No desenvolvimento do sistema amortecedor de queda de um elevador de massa m, o engenheiro projetista impõe que a mola deve se contrair de um valor máximo d, quando o elevador cai, a partir do repouso, de uma altura h, como ilustrado na figura abaixo. Para que a exigência do projetista seja satisfeita, a mola a ser empregada deve ter constante elástica dada por: $\frac{2mg(h+d)}{d^{2} }$
(Essa é a resposta do gabarito, mas não sei como chegar a essa resposta!)

Answer 1

Estamos diante de um problema de Conservação de Energia Mecânica.

·Primeiramente devemos pensar que quando não há forças dissipativas de energia no sistema (como a força de atrito/resistência do ar) a energia mecânica se conserva, que é o caso do problema apresentado.

Logo:

Como a energia mecânica se conserva, podemos dizer que ela é exatamente igual no início da queda do bloco e no final da queda do bloco, quando o bloco está pressionando a mola no auge de sua deformação. Lembrar que a energia mecânica é dada pela soma das outras energias do sistema, que podem ser: energia potencial elástica, energia potencial gravitacional, energia cinética etc. Lembrar também que ∈pot gravitacional = mgh e ∈pot elástica = kx²/2 e ∈cin = mv²/2

·m: massa

·g: aceleração da gravidade

·h: distância pertinente

·k: constante elástica

·x: deformação da mola

·v: velocidade

Ou seja:

∈mec inicial = ∈mec final (posso utilizar esse raciocínio quando não há forças dissipativas) ⇔ ∈pot gravitacional = ∈pot elástica (a única energia presente no sistema no início da queda é a gravitacional e a única energia presente no sistema no final é a elástica, ao adotar o referencial "0" como a base do bloco na situação final). Substituindo os dados temos:

mgh = kx²/2 ⇒ mg(h+d) = kd²/2 ∴ k = 2mg(h+d)/d²

Nota: notar que o "h" genérico da fórmula foi substituído por (h+d) referente ao problema e o "x" genérico da fórmula foi substituído por d, também referente ao problema.

Espero ter ajudado, bons estudos!