Question

Resolver a seguinte integral com o método de substituição de variáveis

Answer 1

Resposta:

$\int\limits{\frac{e^{2t} }{\sqrt{1-e^{t}} } } \, dt$

Fazendo :

$u=1-e^{t}$ $e^{t}= 1-u => du = -e^{t}dt => dt = -du/(1-u) => e^{2t} = (1-u)^{2}$

Reescrevemos a integral como:

$\int\limits{\frac{-(1-u) }{\sqrt{u} } } \,du$

Podemos separar em duas integrais:

$\int\ {-u^{-1/2}} \, du$ +$\int\ {u^{1/2}} \, du$

Essas são integrais clássicas.Assim,obtemos:

$-2u^{1/2} +(2/3)u^{3/2} + C$

Agora,basta reescrever u em função da variável original:

$-2(1-e^{t})^{1/2} +(2/3)(1-e^{t})^{3/2} + C$