Olá pessoal, eu estava estudando e me deparei com esta questão, não entendi a lógica.
(UFSCar-SP) Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com duas (2) bolas vermelhas e uma (1) azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso o jogador retire a bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
A probabilidade de o primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, de uma das suas retiradas pegar a bola azul, vale:
a) 1/3
b) 2/5
c) 1/2
d) 3/5 (está seria a correta)
e) 2/3
Obg desde já.
Respostas
Primeiramente perceba que o primeiro jogador só ganhará em jogadas ímpares (primeira, terceira, quinta...).Vamos calcular a probabilidade dele ganhar na primeira,terceira e quinta jogada.
I. Primeira Jogada:
Basta que ele retire a bola azul, que tem 1/3 probabilidade de ser retirada (pois as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas).
II.Terceira jogada:
Aqui, devemos ter a seguinte disposição de bolas a serem retiradas:
VVA
V= bola vermelha
A=bola azul
Note que como existem duas bolas vermelhas na urna,cada uma com chance de 1/3 de ser retirada, então a probabilidade de se retirar uma bola vermelha é 2/3.Desta maneira,pelo princípio multiplicativo a chance de se ganhar na quinta rodada é dada por:
(2/3)*(2/3)*(1/3) = (2^2)/(3^3)
III.Quinta rodada:
A configuração aqui é VVVVA.Daí,temos :
(2/3)^4*(1/3) = (2^4)/(3^5)
Caso desejarmos saber a probabilidade do primeiro jogador ganhar nas primeiras cinco rodadas, somaríamos os resultados acima obtidos pelo princípio aditivo.Porém, não é citado na questão um limite de rodadas, o que nos leva a procurar alguma relação entre as probabilidades encontradas (por exemplo, seria bem conveniente se elas formassem uma progressão aritmética ou geométrica,cujas somas são conhecidas).
Pois bem,note que:
((2^2)/(3^3)) / (1/3) = (2^2)/(3^2) = 4/9
((2^4)/(3^5))/((2^2)/(3^3)) = (2^2)/(3^2)=4/9
Isto é,a razão entre a probabilidade de se ganhar na terceira jogada e na primeira jogada é a mesma que a razão entre ganhar na quinta e na terceira. Logo,tais probabilidades formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 1/3 e a razão 4/9.Portanto,sua soma equivale a:
(1/3)/(1-(4/9)) = (1/3)/(5/9) = (1/3)*(9/5)=3/5
O resultado encontrado foi 3/5, conforme o gabarito.
^ = elevado a (símbolo de potenciação)
* = vezes (símbolo de multiplicação)