Question

Quantos são os números de 4 algarismos distintos, divisíveis por 4, que podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
(A) 784
(B) 588
(C) 896
(D) 1680
(E) 420

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente precisamos saber quando um número é divisível por 4!

Um número será divisível por quando seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4. Por exemplo, 100 é divisível por 4. 112 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.

O tipo de número que a questão pede é formado por 4 algarismos.

*Considere cada espaço abaixo como sendo um lugar onde se deve pôr um algarismo.

___ ___ ___ ___

Os algarismos precisam ser distintos, ou seja, têm que ser diferentes.

Os algarismos que temos disponíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Assim, para o número ser múltiplo de 4 ele precisar terminar com 12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76 e 84.

Lembrando que 44 é múltiplo de 4, porém não podemos usá-lo, pois os algarismos têm que ser distintos.

Assim,

___ ___ 12 => como já usamos dois algarismos, dos 8 iniciais, só podemos usar 6 no primeiro espaço. E como já usamos 3 algarismos (o 1, o 2 e o que está no primeiro espaço), só podemos usar 5 no segundo espaço.

Então ficará assim

6 5 12 => o 6 e o 5 não são os algarismos! CUIDADO!! Eles representam a quantidade de possibilidade que podem ir para essa posição. Ou seja, quantos números múltiplos de 4 temos que terminam em 12? Basta multiplicar 6 por 5, assim, 6.5 = 30.

Perceba que esse procedimento irá se repetir para todos os outros casos. Vaja um exemplo.

___ ___ 16 => como já usamos dois algarismos, dos 8 iniciais, só podemos usar 6 no primeiro espaço. E como já usamos 3 algarismos (o 1, o 4 e o que está no primeiro espaço), só podemos usar 5 no segundo espaço.

Então teremos 6bpossibilidades no primeiro espaço e 5 no segundo, assim teremos 6.5 números múltiplos de 4 que terminam em 16, ou seja 30 números.

O que isso nos mostra? Que não precisaremos fazer isso para todas as possibilidades, basta pegar 30 e ver quantas vezes ele se repete. Para saber quantas vezes ele se repete é só somar quantas terminações para ser múltiplo de 4 temos. Temos 14 repetições. (volte ao item em negrito).

Logo o resultado procurado é 30.14 = 420.

Assim, temos como resposta a letra e.

Espero ter ajudado.

Bons estudos.