Question

Prove, fazendo as contas, que:

$(\frac{n + 2}{p + 2} ) = (\frac{n}{p}) + 2(\frac{n}{p + 1} ) + (\frac{n}{p + 2} )$ , supondo n um real qualquer e p um inteiro não negativo.

Answer 1

Utilizaremos a relação de Stifel para provar a afirmação.

Um número binominal pode sempre ser escrito da seguinte forma:

$(\frac{n}{p} ) = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

A partir da relação de Stifel, sabemos que:

$(\frac{n + 1}{p + 1} ) = (\frac{n}{p} ) + (\frac{n}{p + 1} )$

Sabendo disso, podemos trabalhar primeiramente com o lado esquerdo da igualdade. Ou seja:

$(\frac{n + 2}{p + 2} )$

Sabemos que n + 2 = n + 1 + 1 e também p + 2 = p + 1 + 1, desta forma ficamos com:

$(\frac{n + 1 + 1}{p + 1 + 1} )$

Aplicando a relação de Stifel, teremos:

$(\frac{n + 1 + 1}{p + 1 + 1} ) = (\frac{n + 1}{p + 1} ) + (\frac{n + 1}{p + 2} )$

Ficando assim com dois termos, individuais. Nesse caso, podemos aplicar novamente Stifel para cada um deles. Vamos fazer isso separadamente para facilitar o entendimento:

$(\frac{n + 1}{p + 1} ) = (\frac{n}{p} ) + (\frac{n}{p + 1} )$

$(\frac{n + 1}{p + 2} ) = (\frac{n + 1}{p + 1 + 1} ) = (\frac{n}{p + 1} ) + (\frac{n}{p + 2} )$

Portanto, vamos ter:

$(\frac{n + 2}{p + 2} ) = (\frac{n + 1}{p + 1} ) + (\frac{n + 1}{p + 2} )\\\\(\frac{n + 2}{p + 2} ) = (\frac{n}{p} ) + (\frac{n}{p + 1} ) + (\frac{n}{p + 1} ) + (\frac{n}{p + 2} )\\\\(\frac{n + 2}{p + 2} ) = (\frac{n}{p} ) + 2*(\frac{n}{p + 1} ) + (\frac{n}{p + 2} )$

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