Question

Determine o coeficiente de $x^{28}$ no desenvolvimento de $(x + 2)^{20} .(x^{2} -1) ^{5}$.

Answer 1

Podemos resolver ao calcular os termos gerais de cada binômio.O termo geral do primeiro é dado por $T_{k+1} = C^{20} _{k} * x^{20-k}*2^{k}$ . O segundo é dado por $T_{p+1}=C^{5}_{p}*x^{10-2p}*(-1)^{p}$.Para que tenhamos $x^{28}$ no produto,isto deve acontecer:

$x^{20-k}*x^{10-2p}=x^{28}$ => $x^{30-k-2p}=x^{28} => k+2p=2$

Já que k e p são números inteiros não negativos,as soluções possíveis para a equação acima são (0,1) e (2,0).Vamos calcular o coeficiente para ambas as soluções:

I. k=0 e p=1

No caso,o coeficiente seria dado por:

$C^{20}_{0}*2^{0}*C^{5}_{1}*(-1) = -5$

II. k=2 e p=0

Aqui,ele seria dado por:

$C^{20}_{2}*4*C^{5}_{0}*(-1)^{0} = 10*19*4=760$

Agora,basta somar os resultados encontrados:

$-5+760=755 <-- resposta$