Aequação da reta que contém os centros das circunferências x + y – 4x – 8y + 19 = 0 e x + y + 4y = 0 é dada por
a) y = 2x + 4
b) y = 3x + 2
c) y = 2x + 2
d) y = 3x – 2
e) y = 3x – 4

Respostas

respondido por: GMYagami

Resposta:

Letra d

Explicação passo-a-passo:

As equações não estão completas, vou considerar como elas sendo:

$x^{2} +y^{2} -4x-8y+19 = 0\\\\e\\\\x^{2} +y^{2}+4y = 0\\$

Para sabermos qual é a reta que passa pelos centros das circunferências, precisamos encontrar as coordenadas dos centros.

Quando a equação da circunferência está na forma reduzida $(x-a)^{2} +(y-b)^{2} =r^{2}$ , é bem simples. A coordenada do centro corresponde ao par ordenado (a,b).

Quando a equação da circunferência se encontra da forma que a questão traz, é preciso desenvolver a equação reduzida para poder comparar com a equação dada - falo isso para você não precisar decorar essa relação, é mais fácil desenvolver as potências.

Assim,

$x^{2} -2xa+a^{2} +y^{2} -2yb+b^{2} = r^{2}$

Organizando para ficar parecida com a equação do problema

$x^{2} +y^{2}-2xa-2yb+a^{2} + b^{2} = r^{2}$

Comparando com as equações do problema.

$x^{2} +y^{2} -4x-8y+19 = 0\\\\e\\\\x^{2} +y^{2}+4y = 0\\$

Para a primeira circunferência teremos:

$-2xa = -4x\\\\a = \frac{-4x}{-2x}\ => a = 2$ $-2yb = -8y\\b = \frac{-8y}{-2y} => b = 4$

Então o centro da primeira circunferência é o par ordenado (2,4)

Para a segunda circunferência teremos:

$-2xa = 0\\a = 0$ $-2yb = 4y\\b = \frac{4y}{-2y} => b = -2$

Então o centro da segunda circunferência é o par ordenado (0,-2)

Mas a questão pede a reta que passa por esse pontos.

Agora aqui nesse ponto temos várias formas de resolver, eu particularmente, prefiro pelo própria equação da reta => $y-y_{0} =m.(x-x_{0})$

o "m" é o coeficiente angular da reta, que pode ser calculado assim

$m = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ => $m = \frac{-2-4}{0-2} => m = \frac{-6}{-2} => m = 3$

Agora é só aplicar na equação da reta. Como a reta passa pelos dois centros, fica a seu critério escolher por qual ponto você vai querer fazer a sua equação. Eu escolhi (0,-2). Sugiro, para treino seu, verificar fazendo com o outro ponto (2,4).

$y-(-2) = 3.(x-0)\\y+2 = 3x\\y = 3x-2$