Question

resolva a inequação raiz(x-1) < 3-x

Answer 1

Inequação irracional :

Dada a inequação :

$\mathsf{\sqrt{x-1}~<~3-x }$

Perceba que temos um radical , por tanto antes de nada , vamos determinar o domínio :

$\mathsf{\sqrt{x-1} ≥ 0 }$

$\mathsf{x-1 ≥ 0 }$

$\mathsf{x ≥ 1 }$

$\mathsf{D_{min1}}~=~\{ \mathsf{x}~\in~\mathbb{R}~/~\mathsf{x}≥1 \}$

$\mathsf{3-x≥0 }$

$\mathsf{3≥x }$

$\mathsf{x≤3 }$

$\matsf{D_{min2}}~=~\{\mathsf{x} \in \mathbb{R} / \mathsf{x ≤ 3} \}$

$\mathsf{D_{f}~=~\mathsf{D_{min1}} \cap \mathsf{D_{min2}} }$

$\mathsf{D_{f}}~=~]1~;~+\infty[\cap]-\infty~;~3]$

$\mathsf{D_{f}}~=~\mathsf{x}\in]1~;~3]$

Agora vamos elevar ambos membros ao quadrado :

$\mathsf{\Big(\sqrt{x-1} \Big)^2 < \Big( 3-x \Big)^2 }$

$\mathsf{x-1~ < ~ 9-6x+x^2 }$

$\mathsf{x^2-6x-x+9+1 > 0 }$

$\mathsf{\red{x^2-7x+10 > 0} }$

Vamos transformar a inequação em equação para achar as suas raízes :

$\mathsf{\blue{x^2-7x+10=0}}$

Fatorando a expressão vamos ter :

$\mathsf{(x-2)(x-5)~=~0 }$

$\mathsf{x~=~}\begin{cases} \mathsf{x-2~=~0 } \\ \\ \mathsf{x-5~=~0} \end{cases}$

$\mathsf{x=}\begin{cases} \mathsf{\red{x_{1}~=~2}} \\ \\ \mathsf{\red{x_{2}~=~5}} \end{cases}$

$\mathsf{Sol_{1}:}\mathsf{x}\in~]-\infty~;~2[\mathsf{U}]5~;~+\infty [$

Perceba que a Solução tota vai ser a intersecção da Solução1 com o domínio :

$\mathsf{Sol_{total}~=~Sol_{1}\cap D_{f} }$

$\mathsf{Sol_{total}}~=~]-\infty~;~2[\mathsf{U}]5~;~+\infty[\cap[1~;~3]$

$\mathsf{Sol_{total}}: \mathsf{x}\in[1~;~2[$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Resposta:

x∈ [1;2[

Explicação passo-a-passo:

     Primeiro iremos restringir os valores dos domínios: Sendo f(x)= x-1 e g(x)= 3-x.

$\sqrt{f(x)} < g(x)\\g(x) \geq 0\\3-x\geq 0\\x\leq 3\\\\f(x)\geq 0\\x-1\geq 0\\x\geq 1$

     Com isso temos que x ∈ [1;3]

   - Resolvendo a inequação.

$\sqrt{x-1} < 3-x \\(\sqrt{x-1} )^2< (3-x)^2\\x-1 < 9 -6x +x^2\\\\x^2 -7x +10 > 0$

   - Encontrando as raízes

x' + x" = 7

x'.x"= 10

x'=2 e x"=5  ∴  x'<2 e x">5

    Agora devemos achar a intersecção dos possíveis valores para x:

(x∈[1;3]) ∩ (x∈]-∞; 2[ ∪ ]5; +∞[)

x∈ [1;2[

Espero ter lhe ajudado.