Question

Considere um poligono regular, em que cada ângulo interno mede 156°. Com os vertices do triângulo nos vértices desse poligono, qual o número de triângulos que podem ser formados ? a) 150 b) 285 c) 455 d)910 e) 2730​

Answer 1

O número de triângulos que podem ser formados é 455.

Primeiramente, vamos calcular o número de lados do polígono regular.

Para isso, considere que o número de lados é igual a n. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela fórmula:

• S = 180(n - 2).

Sendo o polígono convexo, temos que cada ângulo interno é igual a:

• i = 180(n - 2)/n.

De acordo com o enunciado, cada ângulo interno do polígono regular mede 156º. Então:

156 = 180(n - 2)/n

156n = 180n - 360

24n = 360

n = 15.

Precisamos escolher três vértices entre os quinze disponíveis. Observe que a ordem da escolha não é importante. Sendo assim, utilizaremos a fórmula da Combinação:

• $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Dito isso, temos que:

$C(15,3)=\frac{15!}{3!12!}$

C(15,3) = 455.

Portanto, o número total de triângulos é igual a 455.