Question

Sejam X e Y números reais positivos não nulos, tais que x < Y. Considere uma progressão geométrica infinita, onde a2 = x^3, a4= x^5/y^2 e a razão é positiva. Assim, é correto afirmar que a soma infinita dos termos dessa progressão geométrica é igual a: a) xy/x+y b)x^2y^2/x+y c)x^2y^2/x-y d)x^3y^3/x+y e)x^2y^2/y-x​

Answer 1

A soma infinita dos termos dessa progressão geométrica é igual a $\frac{x^2y^2}{y-x}$.

Primeiramente, é importante lembrarmos que o termo geral de uma progressão geométrica é definido por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹, sendo:

• a₁ = primeiro termo
• q = razão
• n = quantidade de termos.

Além disso, a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita é igual a:

• $S=\frac{a_1}{1-q}$.

De acordo com o enunciado, a₂ = x³, ou seja:

x³ = a₁.q²⁻¹

x³ = a₁.q

a₁ = x³/q.

Além disso, temos que a₄ = x⁵/y², ou seja:

x⁵/y² = a₁.q⁴⁻¹

x⁵/y² = (x³/q).q³

x⁵/y² = x³.q²

q² = x²/y²

q = x/y.

Consequentemente:

a₁ = x³.(y/x)

a₁ = x².y.

Portanto, a soma infinita dos termos da progressão geométrica é igual a:

$S=\frac{x^2y}{1-\frac{x}{y}}$

$S=\frac{x^2y}{\frac{y-x}{y}}$

$S=\frac{x^2y^2}{y-x}$.